【数据分析】时间序列 递归量化分析（相空间重构、递归矩阵、递归图模式、交叉递归图、递归量化分析）

一、递归图

递归图(Recurrence plot, RP)是一种非平稳信号的处理与分析方法，在非线性振动领域中被用于混沌系统的研究。它通过比较时间序列中不同时间点的状态来构建，可以揭示系统动态的复杂性、周期性和可预测性。

对自然界中的递归特性的研究很早就开始了，法国数学家和天体力学家亨利·庞加莱(Henri Poincaré)在1890年提出了递归的正式概念，尽管在随后的几年里进行了大量的数学工作，庞加莱的开创性工作和他发现的递归特性不得不等待 70 多年的发展，直到计算机的出现，计算机的强大计算能力促进了混沌理论的发展，使用递归概念的一些繁琐计算可以用计算机来完成。

由于没有合适的工具来分析递归现象，直到二十世纪八十年代，埃克曼(Eckmann)等人引入了递归图(Recurrence plot, RP)的方法来使动态系统的递归特性可视化。

1.1 递归矩阵

递归图可以用递归矩阵 $R_{i,j}(\epsilon )$ 来表示：

$$R_{i,j}(\epsilon )=\Theta \left(\epsilon -\Vert \overline{x_i}-\overline{x_j}\Vert \right),$$

其中：

• $R_{i,j}$ 是一个 $N\times N$ 的矩阵 R 中位置$（i,j）$处的值，$N$ 是状态向量 $\overline{x_i}$ 的数量。
• $\epsilon$ 是事先设定的临界距离阈值。
• $\Vert \cdot \Vert$ 表示距离的范数，常用的是欧几里得范数。（范数用于量化向量的大小或长度，比如欧几里得范数就是欧氏距离，即平方和的平方根；曼哈顿范数就是曼哈顿距离，即绝对值之和）
• $\Theta (\cdot )$ 是 Heaviside 函数（单位阶跃函数），其定义为：
  • $\Theta (x<0)=0$
  • $\Theta (x\ge 0)=1$

详细解释

1. 状态向量：
   每个状态向量 $\overline{x_i}$ 是由时间序列 $x(t)$ 通过延迟嵌入得到的。例如，如果使用延迟时间 $\tau$ 和嵌入维数 $m$，那么状态向量可以表示为 $\overline{x_i}=[x(i),x(i+\tau ),\dots ,x(i+(m-1)\tau )]$。

2. 距离计算：
   对于任意两个状态向量 $\overline{x_i}$ 和 $\overline{x_j}$，计算它们之间的距离 $\Vert \overline{x_i}-\overline{x_j}\Vert$。这个距离可以是欧几里得距离，也可以是其他范数，如曼哈顿距离等。

3. 递归矩阵的构造：
   根据距离是否小于等于阈值 $\epsilon$，递归矩阵 $R_{i,j}(\epsilon )$ 中的元素被设为 1 或 0。也就是说，$R_{i,j}(\epsilon )$ 为 1 当且仅当 $\Vert \overline{x_i}-\overline{x_j}\Vert \le \epsilon$，否则为 0。

4. 递归图的绘制：
   递归图通过将递归矩阵 $R_{i,j}(\epsilon )$ 绘制为图像来完成。矩阵的每个元素 $R_{i,j}$ 的值决定了图像的颜色（例如，1 可以用黑色表示，0 用白色表示）。

简单来说，递归矩阵就是元素值为0、1的二值矩阵。 这可以画出黑白图像。

1.2 递归图的构建

可以按照以下步骤构建递归图：

1. 选择嵌入维数和延迟时间：例如，选择 $m=2$ 和 $\tau =1$。
2. 计算状态向量：例如，对于时间点 $t_i$，状态向量 $\overline{x_i}=[x(t_i),x(t_i+1)]$。
3. 选择阈值：设定 $\epsilon$，例如 $\epsilon =0.5$。
4. 计算距离和构造递归矩阵：对于所有 $i$ 和 $j$，计算 $\Vert$