《概率论与数理统计》学渣笔记

1 随机事件和概率

1.1 古典概型求概率

在古典概型中，样本空间中的每个基本事件发生的概率是相同的。如果样本空间中有 $n$ 个可能的基本事件，而感兴趣的事件 $A$ 包含其中的 $m$ 个基本事件，则事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$ 可以表示为：

$$\mathbf{P}(\mathbf{A})=\frac{\text{事件 }\mathbf{A}\text{ 包含的基本事件数}}{\text{样本空间Ω中的基本事件总数}}=\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{n}}$$

求解步骤

1. 确定样本空间：首先需要明确所有可能的结果，这些结果构成了样本空间 $\Omega$。

2. 确定感兴趣的事件：明确你要计算的事件 $A$，并找到包含在这个事件中的基本事件。

3. 计算概率：使用上述公式 $P(A)=\frac{m}{n}$ 来计算概率。

例子 1：投掷一枚公平的六面骰子

• 样本空间 Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} Ω={1,2,3,4,5,6}，其中 $n=6$。
• 事件 $A$：投掷结果是一个偶数。
• 包含的基本事件 A = { 2 , 4 , 6 } A = \{2, 4, 6\} A={2,4,6}，其中 $m=3$。
• 概率：$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

例子 2：从一副52张的扑克牌中抽取一张

• 样本空间 $\Omega$ 包含所有52张牌，其中 $n=52$。
• 事件 $A$：抽取到红心。
• 包含的基本事件 $A$ 是所有红心牌，有 $m=13$ 张。
• 概率：$P(A)=\frac{m}{n}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$。

随机分配问题

$$\mathbf{将}\mathbf{n}\mathbf{个球随机分配到}\mathbf{N}\mathbf{个盒子中}$$

分配方式	不同分法的总数
每个盒子能装任意多个球	$$N^n$$
每个盒子最多只能容纳一个球	$$A_N^n=\frac{N!}{(N-n)!}$$

“某指定n个”：只有1种情况
“恰有n个”：有$C_N^n$种情况

简单随机抽样问题

$$\mathbf{从含有}\mathbf{N}\mathbf{个球个盒子中}\mathbf{n}\mathbf{次简单随机抽样}$$

抽样方式	抽样法总数
先后有放回取n次	$$N^n$$
先后无放回取n次	$$A_N^n=\frac{N!}{(N-n)!}$$
任取n个	$$C_N^n$$

抓阄模型：“先后无放回取$k$个球”与“任取$k$个球”的概率相同。

1.2 几何概型求概率

$$\mathbf{P}(\mathbf{A})=\frac{\mathbf{A}（子区域：长度，面积）}{\mathbf{\Omega }（几何区域：长度，面积）}$$

1.3 重要公式求概率

2 一维随机变量及其分布

2.1 随机变量及其分布函数的定义

离散型随机变量及其概率分布（概率分布）

连续型随机变量及其概率分布（分布函数）

2.2 离散型分布

0-1分布 $X\sim B(1,p)$

二项分布 $X\sim B(n,p)$

几何分布 $X\sim G(p)$

$$首中即停止（等待型分布），具有无记忆性$$

超几何分布 $X\sim H(n,M,N)$

泊松分布 $X\sim P(\lambda )$

$$用于描述稀有事件的概率$$

离散型→离散型

2.3 连续型分布

均匀分布 $X\sim U(a,b)$

指数分布 $X\sim E(\lambda )$

正态分布 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

正态分布，也叫高斯分布，是一种特定的概率分布。其曲线呈钟形，对称于均值。

正态分布的重要性源于以下几个原因：

1. 自然现象的普遍性：很多自然和社会现象的测量结果近似服从正态分布，比如人的身高、考试成绩、误差分布等。原因是这些现象往往受到多种独立因素的共同影响，而根据中心极限定理，当这些影响因素足够多且相互独立时，其结果往往接近正态分布。

2. 统计推断的基础：在统计学中，许多推断方法（如 $t$ 检验、$z$ 检验、线性回归等）都基于数据服从正态分布的假设。正态分布的数学特性使得这些方法可以更有效地估计参数、检验假设。

3. 中心极限定理的支持：无论数据原本的分布是什么样的，只要样本量足够大，样本均值的分布就会趋向于正态分布。这一理论使得我们可以在处理大样本时，使用正态分布来简化问题。

4. 易于计算和理解：正态分布有简洁的数学表达式，且它的标准化（即转化为标准正态分布）使得很多复杂的计算变得简单、直观。

连续型→离散型

2.4 混合型分布

连续型→连续型（或混合型）

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3 多维随机变量及其分布

3.1 定义

3.2 求联合分布

二维均匀分布与二维正态分布

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3.3 求边缘分布

3.4 求条件分布

3.5 判独立

3.6 用分布

3.7（离散型，离散型）→离散型

3.8（连续型，连续型）→连续型

分布函数法

卷积公式法（建议用这个）

最值函数的分布

3.10（离散型，连续型）→连续型【全集分解】

3.11 离散型→（离散型，离散型）

3.12 连续型→（离散型，离散型）

3.13 （离散型，离散型）→（离散型，离散型）

3.14 （连续型，连续型）→（离散型，离散型）

3.15 （离散型，连续型）→（离散型，离散型）

4 数字特征

4.1 数学期望

4.2 方差

4.3 亚当夏娃公式

4.4 常用分布的期望和方差

分布	期望$E(X)$	方差$D(X)$
$0-1$分布$$X\sim B(p)$$	$$p$$	$$p(1-p)$$
二项分布$$X\sim B(n,p)$$	$$np$$	$$np(1-p)$$
泊松分布$$X\sim p(\lambda )$$	$$\lambda$$	$$\lambda$$
几何分布$$X\sim G(p)$$	$$\frac{1}{p}$$	$$\frac{1-p}{p^2}$$
超几何分布（了解）$$X\sim H(n,M,N)$$	$$\frac{nM}{N}$$	$$n\cdot \frac{M}{N}\cdot \left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot \frac{N-n}{N-1}$$
均匀分布$$X\sim U(a,b)$$	$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$ $$E(X^2)=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$	$$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$ $$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$ $$D(X^2)=\frac{(b-a{)}^4}{80}$$
指数分布$$X\sim E(\lambda )$$	$$E(X)=\frac{1}{\lambda }$$ $$E(X^4)=\frac{24}{{\lambda }^4}$$	$$D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$$ $$D(X^2)=\frac{20}{{\lambda }^4}$$
正态分布$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$	$$E(X)=\mu$$ $$E[(X-\mu {)}^4]=3{\sigma }^4$$ $$E[(X-\overline{X}{)}^4]=\frac{3(n-1{)}^2{\sigma }^4}{n^2}$$	$$D(X)={\sigma }^2$$ $$D(X^2)=2{\sigma }^4+4{\mu }^2{\sigma }^2$$ $$D(S^2)=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}$$
标准正态分布$$X\sim N(0,1)$$	$$E(X)=0$$ $$E(X^4)=3$$	$$D(X)=1$$ $$D(X^2)=2$$
瑞利分布（了解）$$X\sim \text{R}(\sigma )$$	$$\sqrt{\frac{\pi }{2}}\sigma$$	$$(2-\frac{\pi }{2}){\sigma }^2$$
卡方分布$$X\sim {\chi }^2(n)$$	$$E(X)=n$$ $$E(X^4)=n(n+2)(n+4)$$	$$D(X)=2n$$ $$D(X^2)=4n$$
$t$分布$$t\sim t(n)$$	$$0$$	$$\frac{n}{n-2}$$

4.5 协方差

4.6 相关系数

4.7 独立性与不相关性的判定

4.8 切比雪夫不等式

5 大数定律与中心极限定理

5.1 切比雪夫大数定律（均值依概率收敛到期望）

5.2 伯努利大数定律（频率依概率收敛到概率）

5.3 辛钦大数定律（均值依概率收敛到期望）

5.4 中心极限定理（n足够大时，均收敛于正态分布）

6 统计量及其分布

6.1 统计量

$$统计量是不含未知参数的随机变量的函数$$

6.2 标准正态分布分布的上α分位数

6.3 卡方分布 $X\sim {\chi }^2(n)$

$$标准正态分布的平方$$

6.4 t分布 $t\sim t(n)$

$$标准正态分布的单打独斗$$

6.5 F分布 $F\sim F(n_1,n_2)$

$$卡方分布的单打独斗$$

6.6 正态总体下的常用结论

7 参数估计与假设检验

7.1 矩估计

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矩估计法的核心思想是使得样本的样本矩等于总体的理论矩，从而通过这个等式来解出模型的参数。所谓“矩”就是随机变量的不同阶的期望，比如一阶矩是期望值，二阶矩是方差等。

参数估计能揭示数据规律，指导实际应用。描述数据、预测未来、优化决策和风险评估是参数估计的主要用途。

1. 描述数据特性：估计参数帮助我们理解数据的分布特性，比如正态分布的均值（数据中心）和方差（数据分散程度）。

2. 预测与推断：通过估计参数，可以进行未来预测或假设检验。例如，使用时间序列模型的参数预测市场趋势。

3. 建模与优化：许多模型依赖参数估计来优化决策，如线性回归中的回归系数，用于预测或分类。

4. 风险管理与模拟：估计参数后可以进行数据模拟，帮助评估金融风险或仿真系统性能。

5. 理论验证与模型选择：通过实际数据检验理论模型，参数估计帮助选择更适合的模型。

7.2 最大似然估计（MLE）

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最大似然估计（MLE）是一种广泛使用的统计方法，通过寻找使观测数据出现概率最大的参数，来估计模型中的未知参数。这些估计值对统计模型来说至关重要，因为它们帮助我们了解数据的分布特征。在很多实际问题中，真实的分布参数通常是未知的。例如，你可能知道某个数据集来自正态分布，但不知道这个正态分布的具体均值（$\mu$）和方差（${\sigma }^2$）是什么。MLE通过样本数据估计这些参数，从而得出对总体特征的最佳猜测。随着样本量的增加，MLE的估计值会趋近于真实参数，因为它在大样本情况下具有渐近无偏性和渐近有效性。

在实际应用中，这些参数估计值有广泛的用途：

• 模型预测: 在机器学习中，MLE的参数估计值用于构建预测模型。例如，在逻辑回归中，MLE得到的参数用来预测事件发生的概率。

• 风险评估: 在金融领域，MLE估计的参数帮助投资者评估和管理风险，比如估计资产回报率的波动性。

• 工程应用: 在质量控制中，MLE用于估计生产过程中产品的缺陷率，从而帮助改进生产流程。

• 医学研究: 在医学领域，研究人员通过MLE估计药物疗效的相关参数，从而确定最佳剂量或治疗方案。

总结而言，最大似然估计是一种强大而广泛应用的统计工具，无论是在学术研究还是实际应用中，都能为我们提供有价值的信息和决策支持。

7.3 常见分布的矩估计量和最大似然估计量

X服从的分布	矩估计量	似然估计量
$$0-1分布$$	$$\hat{p}=\overline{X}$$	$$\hat{p}=\overline{X}$$
$$B(n,p)$$	$$\hat{p}=\frac{\overline{X}}{n}$$	$$\hat{p}=\frac{\overline{X}}{n}$$
$$G(p)$$	$$\hat{p}=\frac{1}{\overline{X}}$$	$$\hat{p}=\frac{1}{\overline{X}}$$
$$P(\lambda )$$	$$\hat{\lambda }=\overline{X}$$	$$\hat{\lambda }=\overline{X}$$
$$U(a,b)$$	$$\hat{a}=\overline{X}-\sqrt{\frac{3}{n}\sum _{i=i}^n(X_i-\overline{X})}$$ $$\hat{b}=\overline{X}+\sqrt{\frac{3}{n}\sum _{i=i}^n(X_i-\overline{X})}$$	a ^ = m i n { X 1 , X 2 , . . . , X n } \hat{a}=min\{X_1,X_2,...,X_n\} a^=min{X1​,X2​,...,Xn​} b ^ = m a x { X 1 , X 2 , . . . , X n } \hat{b}=max\{X_1,X_2,...,X_n\} b^=max{X1​,X2​,...,Xn​}
$$E(\lambda )$$	$$\hat{\lambda }=\frac{1}{\overline{X}}$$	$$\hat{\lambda }=\frac{1}{\overline{X}}$$
$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$	$$\hat{\mu }=\overline{X}$$ $$\widehat{{\sigma }^2}=\frac{1}{n}\sum _{i=i}^n(X_i-\overline{X})$$	$$\hat{\mu }=\overline{X}$$ $$\widehat{{\sigma }^2}=\frac{1}{n}\sum _{i=i}^n(X_i-\overline{X})$$

7.4 无偏性：求期望

7.5 有效性：比方差，方差越小越有效

7.6 一致性（相合性）：大数定律

$$常用切比雪夫不等式、辛钦大数定律判一致性$$

7.7 区间估计

7.8 假设检验

选择检验统计量

7.9 两类错误

第一类错误：弃真（直接算落入拒绝域的概率）

第二类错误：取伪（直接算落入收敛域的概率）