线性代数（第三章：向量）

2024/11/14 12:02:29 来源：https://blog.csdn.net/weixin_49272453/article/details/143640170 浏览: 次关键词：线性代数（第三章：向量）

一、向量的基础知识

1. 向量的概念与运算

1）向量的定义

n 个数 a₁ , a₂ , … , a_n 构成的有序数组 (a₁ , a₂ , … , a_n)^T 或 (a₁ , a₂ , … , a_n) 称为 n 维向量。

2）向量的运算

设 α = (a₁ , a₂ , a₃)^T ，β = (b₁ , b₂ , b₃)^T

自己和自己的内积 = 模长的平方：(α , α) = α^Tα = a₁² + a₂² + a₃² ≥ 0
自己和自己的内积为 0 ⇔ 0 向量：(α , α) = α^Tα = 0 ⇔ α = 0
自己和别人的内积为 0：正交向量
(α , α) = (α , β) = α^Tβ = β^Tα（对称性）
(α , k₁β₁+k₂β₂) = k₁(α , β₁) + k₂(α , β₂)

2. 向量的线性相关性

1）线性相关

定义：设若存在不全为零的一组数 k₁ , k₂ ,…, k_s ，使得 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，则称 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性相关。

几何理解：

两个向量 α₁ , α₂ 线性相关，则 α₁ , α₂ 共线；
三个向量 α₁ , α₂ , α₃ 线性相关，则 α₁ , α₂ , α₃ 共面。

线性相关性判定：

用秩：r(α₁ , α₂ ,…, α_s) < s（向量个数）
用行列式（方阵）

若向量组的秩 = 向量个数，则无关；若向量组的秩 < 向量个数，则相关。

2）线性无关

定义：若 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，当且仅当 k₁ = k₂ =…= k_s = 0 ，则称 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性无关。

线性无关性判定：

用定义，写出 k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s = 0 ，证出 k₁ = k₂ =…= k_s = 0
用秩：r(α₁ , α₂ ,…, α_s) = s（向量个数）
用行列式（方阵）

3. 线性表示

1）线性表示的定义

若存在一组数 k₁ , k₂ ,…, k_s ，使得 β = k₁α₁ + k₂α₂ + … + k_sα_s ，则称 β 可由 α₁ , α₂ ,…, α_s 线性表示。

2）线性表示的判定

线性表示与向量组的秩之间的联系：

若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) ≠ r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) ⇔ Ax = β 无解 ⇔ β 不可由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) = n ⇔ Ax = β 有唯一解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且唯一表示
若 r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = r(α₁ , α₂ ,…, α_n , β) < n ⇔ Ax = β 有无穷多解 ⇔ β 可以由向量组 α₁ , α₂ ,…, α_n 表示且无穷多表示

3）总结

① 方阵向量组的线性相关性（ n 个 n 维向量：方阵）

a）α₁ , α₂ ,…, α_n 线性相关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_n) < n ⇔ |α₁ , α₂ ,…, α_n| = 0
b）α₁ , α₂ ,…, α_n 线性无关 ⇔ r(α₁ , α₂ ,…, α_n) = n ⇔ |α₁ , α₂ ,…, α_n| ≠ 0
c）r(A) = 行数 ⇔ A 的行向量组线性无关；r(A) < 行数 ⇔ A 的行向量组线性相关。
d）r(A) = 列数 ⇔ A 的列向量组线性无关；r(A) < 列数 ⇔ A 的列向量组线性相关。