线性代数（第四章：方程组）

一、方程组的基础知识

1. 方程组的形式

2. 方程组的解

1）齐次方程组

2）非齐次方程组

3）总结

3. 方程组解的结构与性质

1）基础解系

若向量组 η₁ , η₂ ,…, η_r 满足：

• η₁ , η₂ ,…, η_r 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解；
• η₁ , η₂ ,…, η_r 为全部解的极大线性无关组。

则称 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系。

【注意】：

• 基础解系的本质是解向量的极大无关组
• 基础解系需要符合三点要求：① 是解 ，② 个数（s = n - r(A)），③ 无关
• 基础解系不唯一
• 基础解系中向量个数 s = n - r(A)
• 基础解系的线性组合就是齐次的通解，也就是说齐次的解都可以被基础解系的线性组合表示

I、未知个数 = 矩阵列数 = n
II、秩 = 有效方程个数 = 约束 = 主变量个数
III、基础解系中向量个数 = 自由变量的个数 = n - r(A)

2）齐次方程组的通解

若 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系，则 Ax = 0 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_rη_r ，其中 k₁ , k₂ ,…, k_r 为任意常数。

3）非齐次方程组的通解

若 η₁ , η₂ ,…, η_r 为 Ax = 0 的一个基础解系，η₀ 是 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 k₁η₁ + k₂η₂ +…+ k_rη_r + η₀ ，其中 k₁ , k₂ ,…, k_r 为任意常数。

★ 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解。

4）方程组解的性质

① 齐次解的线性组合还是齐次的解

设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解，则 k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s 为 Ax = 0 的解，其中 k₁ , k₂ ,…, k_s 为任意常数。

② 非齐 - 非齐 = 齐次解

设 η₁ , η₂ 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个解，则 η₂ - η₁ 为齐次线性方程组 Ax = 0 的解。

③ 非齐解的线性组合

设 α₁ , α₂ ,…, α_s 为非齐次线性方程组 Ax = b 的一组解，则：

• k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s 为非齐次线性方程组 Ax = b 的解的充分必要条件是 k₁ + k₂ +…+ k_s = 1

• k₁α₁ + k₂α₂ +…+ k_sα_s</