数学-有理数、正数与负数、数轴、相反数和绝对值(1)

本文将介绍有关数学有理数、正数与负数、数轴、相反数和绝对值的一些知识、定义和用法。

1.1正数与负数

1.2有理数

1.2.1有理数

1.2.2数轴

1.2.3相反数

1.2.3绝对值

1.1正数与负数

在以前学过的0以外的数前面加上“-”的数叫负数

与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）。

【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成。（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题。）

2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略。

3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

4.0既不是正数，也不是负数。

5.正、负数通常表示相反意思的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；赢利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与低于（水平面）；（出口）增长与减少......例如：向东走2米，记作：+2；那么向西走3米，记作-3米。

6.用正负数表示加工允许误差

例如：图纸上注明一个零件的直径是 $\Theta 30\frac{+0.2}{-0.3}$ mm，那么表示零件的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以小0.3mm，即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格，但在这个范围外就不合格了。

1.2有理数

1.2.1有理数

有理数的概念：正数和分数统称有理数。

分类： (1)按定义分类: (2)按性质符号分类：

正整数正整数

正有理数整数零

有理数零正分数有理数负整数

负有理数负整数分数正分数

负分数负分数

应注意两点：1.不重复：即同一事物不能归拿到两个类别中；2.不疏漏：即某一事物不能再所有类别中找不到。）

【说明】1.有理数分为正整数、0和负整数。

2.有理数分为正分数和负分数。

3.无限小数是有理数，它可以化身为分数。如：0.333 $\cdot \cdot \cdot$ = $\frac{1}{3}$

4.无限不循环小数是无理数，如：π（圆周率）。

5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数。

6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。

7.几个常见的概念：非负数：指正数和零；非整数：指负数和零；

1.2.2数轴

规定了原点、正方向和单位长度的叫做数轴；

|—| | 正方向

单原点

位

长

度

【说明】1.数轴有三要素：原点、正方向和单位长度。

2.数轴的画法：

1.先画一条水平的直线；

2.在直线的最右边画一个箭头，表示正方向；

3.在直线上任取一点，作为原点，表示数0；

4.以适当的长度作为单位长度，在原点的左右两边分别表示出刻度。

3.数轴的性质

1.数轴上的点与有理数一一对应；

2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。

3.数轴上的点表示数从左到右依次增大，从右往左依次减少。

4.数轴上原点的距离相等的点有2个，一个在原点的左边，一个在原点的右边，它们互为相反数。

4.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数右边总比左边大。

5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题。

6.数轴是非常重要的数学工具，它使数和直线上的点建立了对应的关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法，同时也为我们对学习平面直角坐标系打下了坚实的基础。

1.2.3相反数

只有符号不同的两个数叫做相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数；

【说明】1.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.

2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.

3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

4.相反数的读法：-(-2)读作负2的相反数，从数轴上看-2的相反数是2，因此-(-2)=2。

5.一般来说数a的相反数是-a。

6.有关相反数的化简，遵循符号法则：同号得正，异号得负。

1.2.3绝对值

在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。

【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点于原点之间的距离。

2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a表示如下:

$\left | a \right |=\left\{\begin{matrix} a (a>0) & & & & & & & \\ 0 (a=0) & & & & & & & \\ -a(a<0)& & & & & & & \end{matrix}\right.$ 或 $|a|=\left\{\begin{matrix} a (a\geq 0) & & & & & & & \\ -a (a<0) & & & & & & & \end{matrix}\right.$ 或 $|a|=\left\{\begin{matrix} a (a>0) & & & & & & & \\ -a (a\leq 0) & & & & & & & \end{matrix}\right.$ ;