虚功、达朗贝尔原理和拉格朗日方程

本文先引入虚位移，从虚功和虚功原理出发，介绍达朗贝尔原理（d’Alembert’s principle） 和 拉格朗日方程（Lagrange’s equations）。

1. 虚功

力学系统的虚位移（virtual displacement）或称无限小位移（infinitesimal displacement）是指力学系统的位形（configuration of system）变化，它是坐标$\delta {\mathbf{r}}_i$任意无限小变化的结果，这种变化受制于时刻$t$力学系统所受的力和约束。假设系统处于平衡态，也就是每个粒子$i$所受的力${\mathbf{F}}_i=0$，那么${\mathbf{F}}_i$的虚功${\mathbf{F}}_i\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0$，表明力${\mathbf{F}}_i$在虚位移$\delta {\mathbf{r}}_i$上做的功为零。累加系统中的所有粒子：
$$\sum _i{\mathbf{F}}_i\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0(1.40)$$

将力${\mathbf{F}}_i$分解为粒子$i$所受的外力${\mathbf{F}}_I^{(\mathrm{a})}$和约束力${\mathbf{f}}_i$：
$${\mathbf{F}}_i={\mathbf{F}}_i^{(\mathrm{a})}+{\mathbf{f}}_i(1.41)$$

于是(1.40)写为：
$$\sum _i{\mathbf{F}}_i^{(\mathrm{a})}\cdot \delta {\mathbf{r}}_i+\sum _i{\mathbf{f}}_i\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0(1.42)$$

2. 达朗贝尔原理

我们将注意力放在约束力做功为零的情况，即上式右侧第二项为零。值得一提的是，这种情况不包含有摩擦力等耗散力的情况。于是我们将平衡的条件重新表述为外力的虚功为零：
$$\sum _i{\mathbf{F}}_i^{(\mathrm{a})}\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0(1.43)$$

方程(1.43)被称为虚功原理（principle of vritual work）。现在将其转化为广义坐标形式。为此引入James Bernoulli和d’Alembert发展的原理，将牛顿第二定律写为虚功形式：
$$\sum _i\left({\mathbf{F}}_i-{\dot{\mathbf{p}}}_i\right)\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0$$

式中已将$-{\dot{\mathbf{p}}}_i$视为${\mathbf{F}}_i$