6.1无符号数和有符号数
一、无符号数 约定符号为正
n位无符号数的表示范围0~2n-1
二、有符号数
1.机器数与真值
最高位0表示正，1表示负
2.原码表示法
（1）定义
对于整数（x为真值，n为位数）
相当于正数前面加0，负数前面加1
对于小数（x为真值）
此时0分为+0，-0
3.补码表示法
（1）补的概念
比如时间，6点前推3小时（-3）为3点，后推9小时（+9）也是3点，则+9是-3以12为模的补数
（2）补码定义
整数：
小数：
（4）求补码的快捷方式
真值为正，补码为原码
真值为负，补码为原码除符号位外每位取反，加1
当x=-16时，原码1，10000 补码1，10000
当x=-17时，原码1，10001 补码1，01111
所以x<-16时，x1必为0
注意：补码的表示范围是-2n~2n-1，-32补码为1，00000，它没有原码
所以选C
x2~6全0时为-32
C
4.反码表示法
（1）定义
对于正数，原码=反码=补码
对于负数，符号位为1，原码数值部分取反得反码，加一得补码
原码有+-0；原码和反码是对齐的；补码+-0是同一种表示，多一个-2n-1；
机器数字长为8位，计算-13/64，29/128，100，-87的原码、反码、补码
注意：正数三码一样，符号位占8位中的一位
结论：相反数的补码为——连同符号位取反，再加1
补码1.0000——原码实际上溢出一位，真值为-1
补码1，0000——原码实际上溢出一位，真值为-16
5.移码表示法
补码表示很难直接判断其真值大小
（1）移码定义
（2）移码和补码的比较
移码和补码的符号位相反
（3）真值、补码和移码的对照表
（4）移码的特点
16.设机器数字长为16位，写出下列各种情况下它能表示的数的范围。设机器数采用一位符号位，答案均用十进制表示。
(1)无符号数;
(2)原码表示的定点小数;
(3)补码表示的定点小数;
(4)补码表示的定点整数;
(5)原码表示的定点整数;
6.2数的定点表示和浮点表示
一、定点表示
反码和原码一致，补码的下限扩展一个数
二、浮点表示
1.为什么在计算机中引入浮点表示？
1.编程困难，程序员需要调整小数点的位置数
2.数的表示范围小，为了表示两个大小相差很大的数据，需要很长的机器字长。
3.数据存储单元利用率低
2.浮点表示
浮点数的一般形式：N=S*rj ，S尾数、r基数（取2、4、8……）、j阶码
S小数，可正可负；j整数，可正可负
浮点数的表示形式
浮点数的表示范围
上溢无法用数值表示，下溢变为0
最大正数负数，阶数和尾数都大；最小正数负数，阶数和尾数都小。
设机器数字长为24位，欲表示± 3万的十进制数，试问在保证数的最大精度的前提下，除阶符、数符各取1位外，阶码、尾数各取几位？
215=32768，所以加上一位符号位，16位可以表示出所有6万的数。
小数点移动最多为15位，换算成二进制，阶数至少需要4位。
数符两位，阶码m=4位，尾数n=18位。
三、浮点数的规格化形式
更好的利用存储空间，规定尾数的最高位数值必须为有效值。
左规：尾数左移1位（相当于小数点右移1位），阶码减1
右规：尾数右移1位，阶码加1
基数不同，规格化形式不同：
r=2时，尾数最高位必为1
左规 尾数左移1位，阶码减1
右规 尾数右移1位，阶码加1
r=4时，尾数最高2位不全为0
左规 尾数左移2位，阶码减2
右规 尾数右移3位，阶码加2
r=8时，尾数最高3位不全为0
左规 尾数左移3位，阶码减3
右规 尾数右移3位，阶码加3
设m=4，n=10，r=2，写出尾数规格化后的浮点数的表示范围。最大正数，最小正数，最大负数，最小负数。
最大正数：2+1111*0.1111111111 = 215*（1-2-10）
最小正数：2-1111*0.1000000000 = 2-15*2-1 = 2-16
最大负数：最小正数取反 = -2-16
最小负数：最大正数取反 = -215*（1-2-10）
将+19/128写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。数值部分取10位，数符取1位，浮点数阶码取5位（1位阶符）。
二进制形式：0.0010011（首位数符+值的二进制形式）
定点表示：0.0010011000（补齐数值部分10位）
浮点规格化表示：0.1001100000*2-10
定点机中：原=反=补=0.0010011000
浮点机中：原=1,0010;0.1001100000
反=1,1101;0.1001100000
补=1,1110;0.1001100000
将-58写成二进制定点数、浮点数及在定点机和浮点机中的机器数形式。数值部分取10位，数符取1位，浮点数阶码取5位（1位阶符）。
只有在机器中才有符号位，其它都用正负号表示
没有要求规格化！
小数点右移，指数为负；小数点左移，指数为正。
机器零
机器零与真值零的区别是：机器零在数轴上表示为0点及其附近的一段区域，即在计算机中小到机器数的精度达不到的数均视为“机器零”，而真值零则表示0这一个点。
当浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值，按机器零处理。
当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理。
四、IEEE754标准
和浮点机表示法的区别：
1.数符移到最前面
2.尾数最高位的1现在隐含了
3.注意不同位数时阶码和尾数的占比
这里的规格化数是以1开头的
真值——二进制——规格化——754
C1040000H
754——拆成符号、阶码、尾数——阶码-127；尾数转换成十进制加1
-1.5*213
B
最大正数：阶数（整数）最大，2^(2^6-1)，尾数（小数）最大：1-2^8
最小负数：阶数最大：2^(2^6-1)，尾数最小：-1
用补码表示，负值能往下再取一位
6.3定点运算
一、移位运算
1.定义
数字相对于小数点进行移位
左移绝对值扩大，右移绝对值缩小
2.算术移位规则
符号位不变，数值位移动。对于空出来的位置：
例1
左移1位，数值扩大两倍；左移丢弃1时，出错
右移1位，数值变为1/2；右移丢弃1时，精度下降
例2
对于补码机器数的算术移位，方法正确的是：
A右移时高位补0 ，左移时低位补 0
B右移时高位补 1 ，左移时低位补 0
C右移时高位补符号位，左移时低位补 0
D右移时高位补符号位，左移时低位补符号位
C
正数原反补一样，左移右移都补0；负数补码左移补0，右移补1（和符号位相同）
3.算术移位的硬件实现
可以从符号位取数，和符号位不相同则从外界取
丢1有可能出错、正确、影响精度
4.算术移位和逻辑移位的区别
以上讲的是算术移位，只对数值位移位
逻辑移位是把整个数进行移位，高低位都补0
二、加减法运算
1.加减法运算公式
（1）加法
（2）减法，化减为加，一个数的相反数的补码为其补码所有位取反再加一
连同符号位一起相加，符号位产生的进位丢掉
例：
3.溢出判断
两个数符号相同才会溢出
（1）一位符号位判溢出
参加操作的两个数符号相同，结果符号变化，即为溢出
硬件实现：最高有效位的进位 异或 符号位的进位 = 1，则溢出
就是说，如果符号位和最高有效位有且仅有一个发生了进位，则溢出。
（2）两位符号位判溢出
结果的双符号位相同则未溢出，不相同则溢出
计算时，双符号数会复制一份符号位使最高两位相同，结果中最高位代表真实符号
这里需要说明一点，采用双符号位方案时，寄存器或主存中的操作数只需保存一位符号位即可。因为任何正确的数，两个符号位的值总是相同的，而双符号位在加法器中又是必要的，故在相加时，寄存器中一位符号的值要同时送到加法器的两位符号位的输人端。
三、乘法运算
1.分析笔算乘法
原码的相乘，先不考虑符号
乘完位数会扩大一倍
符号位单独处理——异或
2.笔乘算法改进
小结
乘法运算可用“加”和“移位”实现
n=4，加4次，移4次
由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位形成新的部分积，同时乘数右移一位（末位丢弃），空出高位存放部分积的低位
被乘数只与部分积的高位相加
硬件：三个寄存器，具有移位功能；一个全加器
4.原码乘法
（1）原码一位乘运算规则
（2）原码一位乘递推公式
5.补码乘法
（1）补码一位乘运算规则
乘数为正，右移补1
乘数为负，最后加[-x]的补进行校正（不考）
1.部分积采用两位符号位
2.右移补1
Booth算法（重点）（被乘数、乘数符号任意）
通过最后两位的差值来决定是否加东西
1.不需要考虑绝对值，而是将符号位带入运算，结果的符号自然得出
2.添加一位附加位0
3.右移一位补位，保证符号位两位相同
4.乘数数据位4位，要右移四次，最后再判断一次是否加，但是不右移
5.x和y有效位数相同，结果的有效位数为2倍的x（或y）位数，所以乘数最后一位不取
小结
整数乘法与小数完全相同，用逗号代替小数点
原码乘——符号位单独处理
补码乘——符号位自然形成
不同的乘法运算需有不同的硬件支持
B
大数相乘才会溢出，F开头的肯定比9开头的小
原码：不考虑符号位，n=15，15次加15次移位，30us
补码：比原码最后多一次相乘，31us
浮点加减运算
1.写出两浮点数的补码，阶数和尾数都是两位符号位
2.对阶：求阶差jx-jy，按照小阶向大阶看齐的原则，阶码增大，尾数右移
注意：负数补码右移补1
3.尾数求和：正常相加
4.规格化：如果符号位为01或10，右规，尾数部分右移，阶码变一致，如果丢1，采用“0舍1入”
如果符号位与尾数最高位相同，左规至不相同为止，尾数部分左移，阶码减小
5.溢出判断
6.转为原码
正数都是39次
补码负数左移最多40次，右移只要1次
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