《行列式：数学中的重要概念及其应用》
行列式是数学中的一个重要概念，主要用于描述线性方程组、向量空间等方面的性质。以下是关于它的详细介绍：
定义
行列式是由排成正方形的一组数（称为元素）按照特定的规则计算得到的一个数值。对于二阶行列式，它通常表示为 ∣ a b c d ∣ \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} acbd ，其值为 a d − b c ad - bc ad−bc。例如， ∣ 2 3 4 5 ∣ = 2 A ~ — 5 − 3 A ~ — 4 = 10 − 12 = − 2 \begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=2×5 - 3×4 = 10 - 12 = -2 2435 =2A~—5−3A~—4=10−12=−2。
对于三阶行列式 ∣ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ∣ \begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} a1a2a3b1b2b3c1c2c3 ，其值可以按照 “对角线法则” 或 “按行（列）展开法则” 来计算。
性质
转置性质：行列式与其转置行列式的值相等，即 D = D T D = D^T D=DT。例如，若 D = ∣ 1 2 3 4 ∣ D=\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix} D= 1324 ，其转置 D T = ∣ 1 3 2 4 ∣ D^T=\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix} DT= 1234 ，两者的值都为 − 2 -2 −2。
换行（列）性质：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。例如， ∣ 1 2 3 4 ∣ = − 2 \begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=-2 1324 =−2，交换两行后 ∣ 3 4 1 2 ∣ = 2 \begin{vmatrix}3&4\\1&2\end{vmatrix}=2 3142 =2。
倍乘性质：若行列式某一行（列）中的元素都乘以同一个数 k k k，则行列式的值等于原行列式的值乘以 k k k。
倍加性质：将行列式某一行（列）的每个元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变。
应用
求解线性方程组：通过克莱姆法则，利用行列式可以求解线性方程组。如果线性方程组的系数行列式不为零，则方程组有唯一解，解可以用行列式表示。
判断向量组的线性相关性：在向量空间中，若向量组构成的行列式的值为零，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。
计算矩阵的逆：对于可逆矩阵，其逆矩阵的元素可以通过行列式和伴随矩阵来计算。
求矩阵的秩：矩阵的秩与它的非零子式的最高阶数有关，而子式就是行列式，通过计算行列式是否为零可以确定矩阵的秩。
