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【信息科学与工程学】【数据科学】第一百八十八篇 线性/非线性泛函分析01

发布时间:2026/9/15 14:46:14来源:尧图网络
【信息科学与工程学】【数据科学】第一百八十八篇 线性/非线性泛函分析01
1. 按代数性质分类(最核心的分类)A. 线性泛函 (Linear Functionals)这是泛函分析的基石。它满足“叠加原理”:f(αx+βy)=αf(x)+βf(y)代表定理:​Riesz 表示定理指出,在希尔伯特空间(Hilbert Space)中,所有的连续线性泛函都可以表示为内积的形式。常见例子:积分泛函:​ F[y]=∫ab​y(x)dx(函数在某个区间下的面积)。点赋值泛函(求值映射):​ F[y]=y(x0​)(取出函数在 x0​处的纵坐标)。傅里叶系数泛函:​ F[y]=y^​(k)(提取某频率的分量)。B. 非线性泛函 (Nonlinear Functionals)不满足叠加原理的泛函。在变分法、物理和深度学习中占主导。常见例子:范数/模长:​ F[y]=∥y∥(虽然范数不是线性的,但它是泛函)。
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