电路笔记(PCB)：数字滤波电路的拉普拉斯变换与零极点分析

拉普拉斯变换基础

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种积分变换，用于将一个时间域的函数（通常是信号或系统的响应）转换为一个复频域的函数。这种变换可以简化许多微分方程和线性系统分析的过程。其定义为：
L { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt L{f(t)}=F(s)=∫0∞​f(t)e−stdt

其中：

• $f(t)$ 是原始时间域函数。

• $F(s)$ 是拉普拉斯变换后的复频域函数。

• $s$ 是复数频率变量。

• 时域中电路元件的基本关系：

  • 电阻$R$：电压$V(t)$ 和电流 $I(t)$ 之间的关系是 $V(t)=R\cdot I(t)$。
  • 电感 $L$：电压 $V(t)$ 和电流 $I(t)$ 之间的关系是 $V(t)=L\frac{dI(t)}{dt}$。
  • 电容$C$：电压 $V(t)$ 和电流 $I(t)$ 之间的关系是$V(t)=\frac{1}{C}\int I(t)dt$。

拉普拉斯域中电路元件的基本关系

• 拉普拉斯变换将时间导数转换为$s$ 的乘法，将积分转换为除以$s$的操作。拉普拉斯变换将时间域中的导数转换为频域中的乘法操作。例如，对于一个函数 $f(t)$，其一阶导数$f^{\prime }(t)$ 在拉普拉斯变换下变为 $sF(s)-f(0)$。同样地，积分 ${\int }_0^{t}f(\tau )d\tau$ 在拉普拉斯变换下变为$\frac{1}{s}F(s)$。这样，拉普拉斯变换使得时间导数和积分在频域中变得更容易处理。

1. 电阻$R$：

   • 在时域中，$V(t)=R\cdot I(t)$。
   • 拉普拉斯变换后， $V(s)=R\cdot I(s)$。
   • 阻抗定义为$Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}=R$，这说明电阻的阻抗在拉普拉斯域中是一个常数 $R$。

2. 电感$L$：

   • 在时域中， $V(t)=L\frac{dI(t)}{dt}$。
   • 拉普拉斯变换后， $V(s)=L\cdot s\cdot I(s)-L\cdot I(0)$。
   • 如果电感的初始电流$I(0)=0$，则 $V(s)=L\cdot s\cdot I(s)$。
   • 阻抗定义为 $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}=L\cdot s$。

3. 电容 $C$：

   • 在时域中， $V(t)=\frac{1}{C}\int I(t)dt$。
   • 拉普拉斯变换后， $V(s)=\frac{1}{C}\cdot \frac{I(s)}{s}-\frac{1}{C}\cdot \frac{I(0)}{s}$。
   • 如果电容的初始电压 $V(0)=0$，则 $V(s)=\frac{1}{C}\cdot \frac{I(s)}{s}$。
   • 阻抗定义为 $Z(s)=\frac{V(s)}{I(s)}=\frac{1}{s\cdot C}$。
   • 注：$i(t)=C\ast \frac{dV(t)}{dt}$，也可得到 $I(s)=C\ast s\ast V(s)$
   • 注：$s=j\omega$时，阻抗

滤波器的数学表示

• 相量特指用复数形式表示的正弦电压和正弦电流。
• 将几个同频率的正弦量相量用有向线段表示在同一个复平面中的方法称为正弦量的相量图表示法。 其中各正弦量相量的模对应其线段的长度， 辐角对应该线段与正向x轴之间的夹角。
• 让我们首先强调拉普拉斯域和相量域中的阻抗概念：
  所有电气工程信号都存在于时域中，其中时间t是自变量。对于正弦信号，可以将时域信号转换为相量域对于不一定是正弦的一般信号，可以将时域信号转换为拉普拉斯域信号

系统传递函数

• 滤波器的两端分别为输入电压（或电流）和输出电流（或电流），滤波器将一个复数映射到另一个复数。滤波器实际上构建了一个复数的映射关系，所以滤波器可以用一个复变量函数表示。

• 零点（Zeros）：系统的零点是使得系统传递函数的分子为零的复数值。它们决定了系统的频率响应在这些频率上的衰减特性。当 $H(z)=0$ 时，意味着滤波器在频率为 0 时的增益为 0。在分贝（dB）尺度下，增益$\text{Gain (dB)}=20\cdot {\log }_{10}(0)=-\infty \text{ dB}$，这表示滤波器在$z$处完全衰减信号。

• 极点（Poles）：系统的极点是使得系统传递函数的分母为零的复数值。极点影响系统的稳定性和响应速度。

• 电路的传递函数$H(s)$是输入信号和输出信号之间的关系在s域的表示。传递函数的形式为：

$$H(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=\frac{a_m{s}^m+a_{m-1}{s}^{m-1}+\cdots +a_{1}s+1}{b_m{s}^n+b_{m-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+1}$$

• 其中，$A(s)$ 是分子多项式（与零点相关），$B(s)$ 是分母多项式（与极点相关）。因式分解可得到：
  $$H(s)=\frac{A(s)}{B(s)}=K\ast \frac{{\Pi }_i^m(s-z_i)}{{\Pi }_j^n(s-p_j)}$$

• 因为复数乘法能够视为一种操作(长度倍增和角度增加)，所以可以得到

$$|H(s)|=K\ast \frac{{\Pi }_{i=1}^m(|s-z_i|)}{{\Pi }_{n=1}^j(|s-p_j|)}$$

$$\angle H(s)=\sum _{i=1}^m\angle (s-z_i)-\sum _{j=1}^n\angle (s-p_i)$$

• 注：以上公式中$|s-p_j|$为两个复数点的二维之间距离， $\angle (s-p_i)$为两个复数向量的夹角。

jw与H(jw)

• 滤波器的$H(j\Omega )$ 是滤波器的频率响应，它描述了滤波器对不同频率成分的增益和相位响应。

• $j\Omega$ 表示频率变量，其中 $\Omega$ 是角频率，单位为弧度每秒。

• $H(j\Omega )$ 是一个复数函数，其模值 $|H(j\Omega )|$ 表示滤波器在频率 $\Omega$处的增益，而其相位 $\arg (H(j\Omega ))$ 表示该频率成分的相位移。

• 这个频率响应可以通过傅里叶变换或拉普拉斯变换的频域分析方法得到，是滤波器设计与分析中的一个关键概念。

用零极点图分析电路

• 一个零点产生+20db/Dec幅度变化和0到90°相位变化
• 一个极点产生-20db/Dec幅度变化和0到90°相位变化
• N个零极点的作用可以互相叠加