龙伯格观测器

文章目录

龙伯格观测器
- 1. 简化的电机模型
- 2. C语言实现
- 3. 代码详细说明
- 4. 龙伯格观测器的优缺点
- 5. 总结

龙伯格观测器（Luenberger Observer）是一种常用的状态观测器，用于动态系统的状态估计。它是在控制理论中广泛应用的一种线性观测器，特别适合于线性定常系统（Linear Time-Invariant, LTI）。龙伯格观测器通过结合系统模型和实际输出，估计系统的状态，从而实现对系统内部状态的观测，即使这些状态不能直接测量。

1. 简化的电机模型

假设使用 $d$ - $q$ 轴坐标系，模型状态方程和输出方程可以表示为：

状态方程：
$\begin{aligned} \frac{d\lambda_d}{dt} &= v_d - R_s \cdot i_d + \omega \cdot \lambda_q \\ \frac{d\lambda_q}{dt} &= v_q - R_s \cdot i_q - \omega \cdot \lambda_d \\ \frac{d\theta}{dt} &= \omega \end{aligned}$

输出方程：
$\begin{aligned} i_d &= \frac{\lambda_d}{L_d} \\ i_q &= \frac{\lambda_q}{L_q} \end{aligned}$

其中：

$\lambda_d$ 和 $\lambda_q$ 是 $d$ 轴和 $q$ 轴的磁链。
$v_d$ 和 $v_q$ 是 $d$ 轴和 $q$ 轴的电压。
$i_d$ 和 $i_q$ 是 $d$ 轴和 $q$ 轴的电流。
$\theta$ 是转子角度（电角度）。
$\omega$ 是电机的电角速度。
$R_s$ 是定子电阻， $L_d$ 和 $L_q$ 是电感。

为了使用龙伯格观测器估算转子角度 $\theta$ ，我们将系统状态向量定义为 $\mathbf{x} = [\lambda_d, \lambda_q, \theta]^T$ ，输入向量为 $\mathbf{u} = [v_d, v_q]^T$ ，输出向量为 $\mathbf{y} = [i_d, i_q]^T$ 。

2. C语言实现

#include <stdio.h>// 电机参数
#define Rs 1.0f    // 定子电阻，单位：欧姆
#define Ld 0.005f  // d轴电感，单位：亨
#define Lq 0.005f  // q轴电感，单位：亨
#define Ts 0.001f  // 采样时间，单位：秒// 观测器增益矩阵 L
#define L11 10.0f
#define L12 0.0f
#define L21 0.0f
#define L22 10.0f
#define L31 0.1f
#define L32 0.1ftypedef struct {float lambda_d;  // 估算的 d 轴磁链float lambda_q;  // 估算的 q 轴磁链float theta;     // 估算的转子角度
} ObserverState;// 电机输入结构
typedef struct {float v_d;  // d 轴电压float v_q;  // q 轴电压float i_d;  // d 轴电流float i_q;  // q 轴电流
} Motor_Input;// 龙伯格观测器的更新函数
void LuenbergerObserver_Update(ObserverState *state, Motor_Input *input) {// 计算输出误差 e = y - C*xfloat e_d = input->i_d - (state->lambda_d / Ld);float e_q = input->i_q - (state->lambda_q / Lq);// 观测器状态更新方程float lambda_d_dot = input->v_d - Rs * input->i_d + state->lambda_q + L11 * e_d + L12 * e_q;float lambda_q_dot = input->v_q - Rs * input->i_q - state->lambda_d + L21 * e_d + L22 * e_q;float theta_dot = L31 * e_d + L32 * e_q;// 更新状态估计state->lambda_d += Ts * lambda_d_dot;state->lambda_q += Ts * lambda_q_dot;state->theta += Ts * theta_dot;// 保持角度在0到2*PI之间if (state->theta > 2 * 3.14159265359f) {state->theta -= 2 * 3.14159265359f;} else if (state->theta < 0) {state->theta += 2 * 3.14159265359f;}
}// 主函数
int main() {// 初始化观测器状态ObserverState observer = {0.0f, 0.0f, 0.0f};// 初始化电机输入 (假数据)Motor_Input motor_input = {1.0f, 0.5f, 0.2f, 0.1f};// 更新观测器并输出结果for (int i = 0; i < 1000; i++) {LuenbergerObserver_Update(&observer, &motor_input);// 输出当前估计状态printf("Step %d: Estimated lambda_d = %f, lambda_q = %f, Rotor Angle (theta) = %f radians\n", i, observer.lambda_d, observer.lambda_q, observer.theta);}return 0;
}

3. 代码详细说明

状态方程离散化：
- 我们采用了简单的欧拉法将连续时间的状态方程离散化。
观测器增益矩阵 $L$ ：
- 增益矩阵 $L$ 的设计基于系统的响应需求。一般情况下，通过极点配置或其他设计方法选择合适的增益，以确保观测误差快速收敛。
龙伯格观测器更新函数：
- LuenbergerObserver_Update 函数是观测器的核心，实现了状态估计的更新。误差反馈项用于校正状态估计，确保估计的磁链和角度准确跟随实际系统的变化。
转子角度计算：
- 观测器估算的 $\theta$ 是转子的电角度。为了保证 $\theta$ 在合理范围内，我们对其进行了限制，使其始终保持在 $0$ 到 $2\pi$ 之间。
主函数：
- 模拟了1000步观测器的运行过程，逐步更新并输出估计的磁链和转子角度。