直观感受(Intuition)及核心理念(Core Idea)
序型(Order Type)的概念,用以描述了集合的结构是否相同。相同结构意味着,对比的两集合,其元素个数,及元素间的关系,都一样。这里,与基数的概念很相似,但基数不考虑元素间的关系,只考虑元素的个数。
核心理念形式化(Formalization)
即,两集合A、B,如果存在一一对应(one on one)函数 f: A → B,且该函数保留元素间的关系,即 a < b ∈ A → f(a) < f(b),那么,两集合A、B的序型相等,记 OrdT(A) = OrdT(B)。
对于,每一个良序(Well-Ordered)的集合,都存在唯一一个序数(Ordinal),作为其序型(Order Type)。
例如,自然数ℕ,其序型 OrdT(ℕ) = ℕ。
再如,有一集合S定义为
S = {0, 2, 4, 6, ..., ℕ, ℕ + 2, ℕ + 4, ℕ + 6, ..., ℕ × 2, ℕ × 2 + 2, ℕ × 2 + 4, ℕ × 2 + 6}
那么,该集合S的序型,
OrdT(S) = ℕ × 2 + 4
= {0, 1, 2, 3,..., ℕ, ℕ + 1, ℕ + 2, ℕ + 3, ..., ℕ × 2, ℕ × 2 + 1, ℕ × 2 + 2, ℕ × 2 + 3 }
而该集合S的基数,
|S| = ℕ
这里,序型,需要保持集合S中元素的顺序,因此,并不能简单的使用其基数代替。