Lucas带你手撕机器学习——线性回归

什么是线性回归

线性回归是机器学习中的基础算法之一，用于预测一个连续的输出值。它假设输入特征与输出值之间的关系是线性关系，即目标变量是输入变量的线性组合。我们可以从代码实现的角度来学习线性回归，包括如何使用 Python 进行简单的线性回归模型构建、训练、和预测。

线性回归的直观理解

你可以把线性回归理解成“画一条线来预测未来”。假设你有一张散点图，每个点代表某个物品的重量和它的价格。你的目标是找到一条直线，能够尽可能准确地描述这些点之间的关系。

线性回归的工作原理

假设我们有一些数据点，每个点都有一个输入（如重量）和一个输出（如价格）。线性回归就是在这些点之间找到一条直线，使得这条线能够“最好”地描述这些数据点。

这条直线的公式是：

在这里插入图片描述

其中：

y：输出，即我们想要预测的值（例如，物品的价格）
x：输入特征（例如，物品的重量）
w：线的斜率，表示重量对价格的影响有多大
b：截距，表示当重量为 0 时，预测的价格是多少

线性回归的基本原理

线性回归的数学公式为：

在这里插入图片描述

其中：

y 是预测值（目标变量）
x1,x2,…,xn 是输入特征
w1,w2,…,wn 是特征对应的权重（回归系数）
b 是偏置项（截距）

如何找到“最好的”直线？

“最好的”直线是指那些经过这条直线的点尽可能接近数据点。为了衡量直线的好坏，我们需要一个方法来计算直线与数据点之间的差距。

误差的概念

对于每个数据点，我们可以计算它的实际价格（真实值）和用这条直线预测出来的价格之间的差距，称为“误差”。
比如说，某个物品的真实价格是 10 元，但通过直线预测出来的价格是 9 元，那么这个点的误差就是 10−9=1。

均方误差（Mean Squared Error,MSE）

为了让误差的计算更稳定，我们通常不直接使用误差，而是使用“均方误差”来衡量模型的好坏：

在这里插入图片描述

其中：

yi：第 i 个样本的真实值
yi^：第 i 个样本通过模型预测的值
N：样本数量

均方误差的作用就是将所有数据点的误差平方后取平均值，这样可以确保误差不会因为正负抵消。我们的目标是让这个均方误差尽可能小，意味着直线与数据点之间的差距最小。

训练模型

在实际训练过程中，我们会不断调整直线的斜率 w 和截距 b，直到找到使均方误差最小的那一组 w 和 b。这就意味着找到了“最好的”直线。

代码实现

使用 Scikit-Learn 实现线性回归

我们可以使用 Scikit-Learn 库，它提供了非常简洁的接口来进行线性回归。下面是一个完整的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 生成一些模拟数据
np.random.seed(42)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)  # 输入特征，100 个样本，1 个特征
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)  # 线性关系 y = 4 + 3x + 噪声# 拆分数据为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)# 创建线性回归模型并进行训练
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)# 输出模型的系数和截距
print(f'权重（w）: {model.coef_[0][0]}')
print(f'截距（b）: {model.intercept_[0]}')# 预测并计算均方误差
y_pred = model.predict(X_test)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f'测试集上的 MSE: {mse}')# 可视化结果
plt.scatter(X_test, y_test, color='blue', label='真实值')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', label='预测值', linewidth=2)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.title('线性回归拟合结果')
plt.show()

在这里插入图片描述

代码解释

生成模拟数据: 生成了一些随机数据点 X和 y，其中 y=4 + 3X + 噪声，这样我们就有一个线性关系的示例数据。
数据集拆分: 使用 train_test_split 将数据集拆分成训练集和测试集，80% 用于训练，20% 用于测试。
训练模型: 使用 LinearRegression 类创建模型，并用训练集数据拟合模型。
预测和评估: 使用测试集进行预测，计算预测值与真实值之间的均方误差（MSE）。
结果可视化: 将真实值和预测结果在图中可视化，可以清楚地看到线性回归的拟合效果。

PyTorch 实现线性回归

为了更好地理解线性回归的原理，我们也可以使用 PyTorch 从头实现一个简单的线性回归模型：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim# 生成模拟数据
torch.manual_seed(42)
X = torch.randn(100, 1) * 2
y = 4 + 3 * X + torch.randn(100, 1)# 定义线性模型
class LinearRegressionModel(nn.Module):def __init__(self):super(LinearRegressionModel, self).__init__()self.linear = nn.Linear(1, 1)  # 输入 1 维，输出 1 维def forward(self, x):return self.linear(x)# 创建模型、损失函数和优化器
model = LinearRegressionModel()
criterion = nn.MSELoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)# 训练模型
epochs = 1000
for epoch in range(epochs):model.train()optimizer.zero_grad()outputs = model(X)loss = criterion(outputs, y)loss.backward()optimizer.step()if (epoch + 1) % 100 == 0:print(f'Epoch [{epoch+1}/{epochs}], Loss: {loss.item()}')# 输出训练好的模型参数
[w, b] = model.parameters()
print(f'权重（w）: {w.item()}')
print(f'截距（b）: {b.item()}')

代码解释