函数序列的逐点收敛和一致收敛的理解

1. 逐点收敛(Pointwise Convergence)

1.1 逐点收敛定义

1.2 对逐点收敛的理解

1.3 举例说明

2. 一致收敛(Uniform Convergence)

2.1 一致收敛定义

2.2 对一致收敛的理解

2.3 举例说明

1. 逐点收敛(Pointwise Convergence)

1.1 逐点收敛定义

我们令 $A \subset \mathbb{R}$ 为一个非空子集，并假设对于每一个 $n \in \mathbb{N}$ ，我们都有一个函数 $f_{n}: A \rightarrow \mathbb{R}$ 。则我们称 $( f_{n} )= (f_{1}, f_{2} ,f_{3} , ...)$ 是 $A$ 上的一个函数序列。

定义：令 $(f_{n})$ 为 $A \subseteq \mathbb{R}$ 上的一个函数序列。若对于每一个 $x \in A$ ，序列 $(f_{n}(x))$ 收敛于一个数 $f(x)$ ，即

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}f_{n}(x)=f(x)$ ，

则我们称函数序列 $(f_{n})$ 在 $A$ 上逐点收敛于函数 $f (x)$ 。在这种情况下，我们称函数 $f (x)$ 为序列 $(f_{n})$ 的逐点极限。

引理(判别法)：令 $(f_{n})$ 为 A 上的一个函数序列， $f (x): A \rightarrow \mathbb{R}$ 为一个函数。当且仅当对于每一个 $x \in A$ 和每一个 $\varepsilon > 0$ ， 都存在一个 $K \in \mathbb{N}$ ，使得对于所有的 $n \geq K$ ，都有 $|f_{n}(x) - f (x) | < \varepsilon$ ，则称函数序列 $(f_{n})$ 逐点收敛于函数 $f (x): A \rightarrow \mathbb{R}$ 。

1.2 对逐点收敛的理解

根据定义，“对于每一个 x∈A 和每一个ε > 0”，我们应理解为每次先固定一个x和一个 ε (我们不妨设为 $x_{0}$ 和 $\varepsilon_{0}$ )，再去求这个 K ，这个函数序列在 n ≥ K 之后的所有序列项，其 $\{ f_{K}, f_{K+1} ,f_{K+2} , ... \}$ 中的所有项与这个固定的 $x_{0}$ 之间的函数值都在 $\varepsilon_{0}$ 范围内，即 $|f_{n}(x) - f (x_{0}) | <\varepsilon_{0}$ 。当我们取下一个 x和另一个 ε (我们不妨设为 $x_{1}$ 和 $\varepsilon_{1}$ )时，前面这个 K 就未必适合了，因此 K 又得变化，因此，所谓的对于每一个 x∈A 和每一个ε > 0 ，是逐个取值的。也就是说，这个K 的取值既受 x 的约束，也受ε 的约束，不同的 x 和 ε 取值，这个 K 是不一样的，不存在某个 K 和每一个ε > 0对整个区间上的x 都成立。

1.3 举例说明

我们设这个函数序列 $( f_{n}(x) = \frac{x}{n} )$ , 其示意图如图 1.3.1所示。

-------------------------------图 1.3.1：函数序列 $( f_{n}(x) = \frac{x}{n} )$ 示意图---------------------------------------

我们看到，这个函数序列的逐点收敛极限为 f(x) = 0 。当我们固定下第一个 x 值和ε > 0 时，K = 3 就足够大，n ≥ 3 之后的每一个 $f_{n}(x)$ 在这一点的函数值与 f (x) = 0 的距离都小于ε 。接下来，我们换一个 x 值，将取值向 x轴正方向前移一个位置，在这个位置，K = 3 已经不满足要求了，在这个 x 值处， $f_{3}(x)$ 函数值与 f (x) = 0 的距离大于 ε ，这时候，要取 K = 4 才能满足要求。也就是说，K 的取值既受限于x，与受限于 ε ，并不存在一个 K 对于取定的 ε 对所有 x 都成立(一致收敛例外)。从函数序列的图像的直观性上来讲，函数序列图像之间随着x 的变化其间距变化幅度较大，不一致。

2. 一致收敛(Uniform Convergence)

2.1 一致收敛定义

定义(判别法)：令 $(f_{n})$ 为 A 上的一个函数序列， $f (x): A \rightarrow \mathbb{R}$ 为一个函数。若对于任意 ε > 0 ， 都存在一个 $K\in \mathbb{N}$ ，使得只要 $n \ge K$ ，则对于所有的 $x \in A$ ，都有 $|f_{n}(x) - f (x) | < \varepsilon$ ，则称函数序列 $(f_{n})$ 在 A上一致收敛于函数 $f (x): A \rightarrow \mathbb{R}$ 。

2.2 对一致收敛的理解

根据一致收敛的定义， K 的取值仅与ε 有关，而与 x 无关。当我们取定了一个ε之后，就可以找到这么一个 K 值，在这个值之后的所有 $f_{n}$ 项，对于所有的x 值，其函数值与极限函数的距离都在ε 范围内。从直观上来看，这个 K 值之后的所有序列函数，其图像之间的间距变化幅度一致，总是在一定的范围内变化。

2.3 举例说明

我们设这个函数序列 $( f_{n}(x) = x + \frac{1}{n} )$ , 其示意图如图 1.3.2所示。

----------------------------图 1.3.2：函数序列 $( f_{n}(x) = x + \frac{1}{n} )$ 示意图-------------------------------------

我们看到，这个函数序列的一致收敛函数为 f(x) = x ，根据逐点收敛定义，首先它是逐点收敛的。而根据致收敛定义，它是一致收敛的。当我们取定了一个 ε 值之后，就能找到这么一个 K 值，n ≥ K 之后的所有函数序列对于有的 x ，它们与其极限函数之间的距离都小于ε 。也就是说，K的取值仅于ε有关，与 x 取值。任意取定一个x之后，函数序列总是在某一项之后能满足对于所有的 x 取值，其与极限函数的距离都小于这个ε。这些函数序列图像之间的距离在一定范围内变动，不会无限变大，一致。