在 △ A B C \triangle ABC △ABC 中, A B = A C AB=AC AB=AC, D D D 是 △ A B C \triangle ABC △ABC 内一点, 且 ∠ D C B = ∠ D B A \angle DCB=\angle DBA ∠DCB=∠DBA. E E E, F F F 分别为线段 D B DB DB, D C DC DC 上的点. 求证: 直线 A D AD AD 平分线段 E F EF EF 的充分必要条件是 E E E, B B B, C C C, F F F 四点共圆.
证明:
延长 A D AD AD 交 B C BC BC 于点 P P P.
由已知条件可知, ∠ A B D = ∠ D C B \angle ABD=\angle DCB ∠ABD=∠DCB, ∠ D B C = ∠ A D C \angle DBC=\angle ADC ∠DBC=∠ADC. 由塞瓦定理, sin ∠ D A B / sin ∠ D A C = sin 2 ∠ D C B / sin 2 ∠ D B C = B D 2 / C D 2 = B P / C P \sin \angle DAB/\sin \angle DAC=\sin ^2 \angle DCB/\sin ^2 \angle DBC=BD^2/CD^2=BP/CP sin∠DAB/sin∠DAC=sin2∠DCB/sin2∠DBC=BD2/CD2=BP/CP.
D P DP DP 是 △ D B C \triangle DBC △DBC 的共轭中线.
sin ∠ P D B / sin ∠ P D C = B P / C P ⋅ C D / B D = B D / C D \sin \angle PDB/\sin \angle PDC=BP/CP \cdot CD/BD=BD/CD sin∠PDB/sin∠PDC=BP/CP⋅CD/BD=BD/CD. 若 B B B, E E E, F F F, C C C 共圆, 则 △ D E F ∼ △ D C B \triangle DEF \sim \triangle DCB △DEF∼△DCB. 显然 D P DP DP 是 △ D E F \triangle DEF △DEF 的中线, A D AD AD 平分 E F EF EF. 若 A D AD AD 平分 E F EF EF, 则 sin ∠ E D P / sin ∠ F D P = D F / D E = B D / C D \sin \angle EDP/\sin \angle FDP=DF/DE=BD/CD sin∠EDP/sin∠FDP=DF/DE=BD/CD. 显然 B B B, E E E, F F F, C C C 共圆, 证毕.
)