费马引理和罗尔定理

前言

继续学习。今天争取把讲义和作业题都写完。另外考研政治笔记审核通不过，还是多写一点英语，数学，专业课笔记，有一些内容可以记录到语雀上面，唯一的坏处就是写在语雀上面和写日记一样，给不了我正反馈。。

区间平均值

就是由积分中值定理推导出来的，之前写题碰到过，但是当时不知道这个东西。

费马引理

费马，罗尔，拉格朗日，柯西，泰勒。

极值点，并且可导，那么该点处导数为零。微分中值定理实际上非常重要。

罗尔

闭区间连续，开区间可导，端点相等，存在一点的导数为零。算了，先去吃饭。

三步万能构造原函数的方法

目标高远。志存高远。

这个部分的内容非常重要。首先把微分方程列出来，然后解微分方程，把 C 放在方程的一边，另一边就是我们需要构造的函数。举个例子

$$\begin{gathered} f(\xi )+\xi f(\xi )=0 \\ f(x)+x\cdot f^{\prime }(x)=0 \\ {f}^{\prime }(x)=-\frac{f(x)}{x} \\ \text{令 }\frac{f(x)}{x}=u \\ \frac{df(x)}{dx}=\frac{du}{dx}+u=-u \\ \frac{du}{dx}=-2u \\ xf(x)=C \\ F(x)=xf(x) \end{gathered}$$
意思大概就是这样，实际上就是解微分方程，这就是为什么要先学微分方程，再学中值定理的原因。

什么时候用罗尔定理

证明至少存在一个中值点，$\xi$,使得等式成立。

• $F(\xi )=0$ 零点定理
• $F^{\prime }(\xi )=0$ 罗尔定理

坦率地讲，感觉好简单，感觉考研数学稳了。哈哈哈爽。

积分中值定理的结论是闭区间，因为积分和单个点无关，所以可以推广到开区间。实际上，严格闭区间的只有介值定理。因为假设，极值点取在端点的时候，一定要取闭区间。

计划

学完讲义和作业题，然后把 660 和 1000 上面的题全部写完，然后再多练习一些题。

拉格朗日

我现在意识到，很多东西我们都会忘记，把一些重要的东西记住就好了。没必要对单次努力抱多大的期望，放轻松一些是一个比较正确的选择。

需要记忆的不等式

$$\begin{gathered} x>0,\frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x} \\ x>0,\frac{x}{x+1}<ln(1+x)<x \end{gathered}$$

柯西中值定理

不放过任何知识点，因为我们的目标是星辰大海。稍微有点难是不能放弃的，当然很难也不能放弃。除非死去，永不放弃。想起来大一的高数老师喜欢用英文来写这种定理，什么 roll 定理，给当时本来就不是很懂的我们额外上了一些难度。

证明柯西中值定理，用罗尔定理来证明，用罗尔定理之前要构造一个原函数。构造原函数就是三步走。非常简单。数学真的想考满分啊。

泰勒

突然意识到，控制是一件非常重要的事情。把控制做好之后，我们很多问题才能很好地解决。

高阶导数判断极值

假设一个函数在某点处可以 n 阶求导，那么，假设前面 n - 1 阶导数都是零，n 阶导数是偶数，这个导数是正数，该点处是极小值，这个导数是负数，该点处是极大值。假设是奇数，这个点不是极值。

最后

我没太理解为什么泰勒公式要放到中值定理这块。。。之后准备把讲义和练习题看一下，然后开始复习多元微分。还是得多努力学习。