【高等数学学习记录】极限运算法则

1 知识点

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定理1：
有限个无穷小的和也是无穷小。

定理2：
有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论1：
常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2：
有限个无穷小的乘积也是无穷小。

定理3：
如果 $\lim f(x)=A$, $\lim g(x)=B$, 那么
(1) $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B$；
(2) $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$；
(3) 若又有 $B\ne 0$, 则 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$。

推论1:
如果$\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，则 $\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$。

推论2:
如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $n$ 是正整数，则 $\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$。

定理4:
设有数列 { x n } \lbrace x_n\rbrace {xn​} 和 { y n } \lbrace y_n\rbrace {yn​}，如果 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$，${\lim }_{x\to \infty }{y}_n=B$，那么
(1) ${\lim }_{n\to \infty }(x_n\pm y_n)=A\pm B$;
(2) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n\cdot y_n=A\cdot B$;
(3) 当 $y_n\ne 0(n=1,2,\dots )$ 且 $B\ne 0$ 时，${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$。

定理5:
如果 $f(x)\ge g(x)$，而 $\lim f(x)=a$，$\lim g(x)=b$，那么 $a\ge b$。

定理6（复合函数的极限运算法则）：
设函数$y=f[g(x)]$ 是由函数 $u=g(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$f[g(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$，${\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$，且存在 ${\delta }_0>0$，当 $x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$ 时，有 $g(x)\ne u_0$，则 ${\lim }_{x\to x_0}f[g(x)]={\lim }_{u\to u_0}f(u)=A$。

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2 练习题

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2.1 计算极限

• (1) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+5}{x-3}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to 2}(x^2+5)}{{\lim }_{x\to 2}(x-3)}$
  $=\frac{9}{-1}$
  $=-9$

• (2) ${\lim }_{x\to \sqrt{3}}\frac{x^2-3}{x^2+1}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to \sqrt{3}}(x^2-3)}{{\lim }_{x\to \sqrt{3}}(x^2+1)}$
  $=\frac{0}{4}=0$

• (3) ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-2x+1}{x^2-1}$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1{)}^2}{(x+1)(x-1)}$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{x+1}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to 1}(x-1)}{{\lim }_{x\to 1}(x+1)}$
  $=\frac{0}{2}=0$

• (4) ${\lim }_{x\to 0}\frac{4x^3-2x^2+x}{3x^2+2x}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{4x^2-2x+1}{3x+2}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to 0}(4x^2-2x+1)}{{\lim }_{x\to 0}(3x+2)}$
  $=\frac{1}{2}$

• (5) ${\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}$
  $={\lim }_{h\to 0}\frac{h^2+2hx}{h}$
  $={\lim }_{h\to 0}(h+2x)$
  $=2x$

• (6) ${\lim }_{x\to \infty }(2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})$
  $=2-{\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}+{\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x^2}$
  $=2-0+0=2$

• (7) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}$
  $={\lim }_{x\to \infty }\frac{(x+1)(x-1)}{(2x+1)(x-1)}$
  $={\lim }_{x\to \infty }\frac{x+1}{2x+1}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x})}{{\lim }_{x\to \infty }(2+\frac{1}{x})}$
  $=\frac{1}{2}$

• (8) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to \infty }(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})}{{\lim }_{x\to \infty }(1-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^4})}$
  $=0$

• (9) ${\lim }_{x\to 4}\frac{x^2-6x+8}{x^2-5x+4}$
  $={\lim }_{x\to 4}\frac{(x-4)(x-2)}{(x-4)(x-1)}$
  $={\lim }_{x\to 4}\frac{x-2}{x-1}$
  $=\frac{{\lim }_{x\to 4}(x-2)}{{\lim }_{x\to 4}(x-1)}$
  $=\frac{2}{3}$

• (10) ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x})(2-\frac{1}{x^2})$
  $={\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x})\cdot {\lim }_{x\to \infty }(2-\frac{1}{x^2})$
  $=1\cdot 2=2$

• (11) ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n})$
  $={\lim }_{n\to \infty }\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$
  $={\lim }_{x\to \infty }(2-\frac{1}{2^n})$
  $=2$

• (12) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +(n-1)}{n^2}$
  $={\lim }_{n\to \infty }\frac{n(n-1)}{2n^2}$
  $={\lim }_{n\to \infty }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n})$
  $=\frac{1}{2}$

• (13) ${\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5n^3}$
  $=\frac{1}{5}\cdot {\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{n}\cdot {\lim }_{n\to \infty }\frac{n+2}{n}\cdot {\lim }_{n\to \infty }\frac{n+3}{n}$
  $=\frac{1}{5}\cdot 1\cdot 1\cdot 1$
  $=\frac{1}{5}$

• (14) ${\lim }_{x\to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{(x+2)(x-1)}{1-x^3}$
  $={\lim }_{x\to 1}-\frac{x+2}{x^2+x+1}$
  $=-1$

• （15）${\lim }_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2{)}^2}$
  $\because {\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2{)}^2}{x^3+2x^2}=0$
  $\therefore {\lim }_{x\to 2}\frac{x^3+2x^2}{(x-2{)}^2}=\infty$

• (16) ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2}{2x+1}$
  $\because {\lim }_{x\to \infty }\frac{2x+1}{x^2}=0$
  $\therefore {\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2}{2x+1}=\infty$

• (17) ${\lim }_{x\to \infty }(2x^3-x+1)$
  $\because {\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{2x^3-x+1}=0$
  $\therefore {\lim }_{x\to \infty }(2x^3-x+1)=\infty$

• (18) ${\lim }_{x\to 0}(x^{2}sin\frac{1}{x})$
  $\because {\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$ 而 $sin\frac{1}{x}$ 为有界函数
  $\therefore$ 原式 $=0$

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2.2 设 { a n } \lbrace a_n\rbrace {an​}， { b n } \lbrace b_n\rbrace {bn​}， { c n } \lbrace c_n\rbrace {cn​}均为非负数列，且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=1$，${\lim }_{n\to \infty }{c}_n=\infty$。下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
(1) $a_n<b_n,n\in N^{+}$；
(2) $b_n<c_n,n\in N^{+}$；
(3) ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n{c}_n$ 不存在；
(4) ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n{c}_n$ 不存在。

• 答：

• (1) 错。
  例如：
  ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{4}{n}=0$，
  及
  ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n})=1$。
  当 $n=1$ 时，
  $a_1=4>b_1=2$，
  与 $a_n<b_n$ 矛盾。

• (2) 错。
  例如：
  ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n})=1$,
  及
  ${\lim }_{n\to \infty }{c}_n={\lim }_{n\to \infty }n=\infty$.
  当 $n=1$ 时，
  $b_1=2>c_1=1$，
  与 $b_n<c_n$ 矛盾。

• (3) 错。
  例如：
  设 $a_n=\frac{1}{n},c_n=n$ ，
  ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$，${\lim }_{n\to \infty }{c}_n=\infty$，
  而 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n{c}_n=1$，
  与 "${\lim }_{n\to \infty }{a}_n{c}_n$ 不存在"矛盾。

• (4) 对。
  假设 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n{c}_n$ 存在。
  $\because {\lim }_{n\to \infty }{b}_n$ 存在，
  $\therefore {\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{b_n}$ 存在，
  $\therefore {\lim }_{n\to \infty }{b}_n{c}_n\cdot {\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{b_n}={\lim }_{n\to \infty }{c}_n$ 存在，与题目给定的条件矛盾，
  $\therefore {\lim }_{n\to \infty }{b}_n{c}_n$ 不存在

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2.3 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
(1) 如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 不存在，那么 ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$不存在；
(2) 如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 和 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 都不存在，那么 ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 不存在；
(3) 如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 不存在，那么 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\cdot g(x)$ 不存在。

• 答：
  (1) 对。
  $\because$假设 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 存在，
  则 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]-{\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，
  与题目给定的条件矛盾，
  $\therefore$ ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 不存在。

(2) 错。
假设 $f(x)=-g(x)$ ，
${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 和 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 都不存在时，
${\lim }_{x\to x_0}[f(x)+g(x)]$ 存在，为0。

(3) 错。
假设 $f(x)=\frac{1}{g(x)}$ ，
${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=\infty$，
${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]$ 存在，为1。

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证明如果 $\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$，那么 $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$。

• 证明
  $\because \lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$
  $\therefore f(x)=A+\alpha$，$g(x)=B+\beta$
  $\therefore f(x)\cdot g(x)=(A+\alpha )\cdot (B+\beta )=AB+\beta B+\alpha B+\alpha \beta$
  $\because \beta B$、$\alpha B$、$\alpha \beta$ 均为无穷小
  $\therefore \lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)=A\cdot B$

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• 学习资料
  1.《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编