滤波器设计（三）-S平面到Z平面的映射

Bilinear Transformation 双线性变换

在复变量$s$（用于连续时间系统）和$z$（用于离散时间系统）之间的代数变换。它能将平面的整个虚轴（$j\Omega$- 轴）映射到平面单位圆的一周

H c(s) 表示连续时间系统函数，H (z) 表示离散时间系统函数
双线性变换相当于将s替换成

那么从z的视角：

If σ < 0, then, from Eq. (7.21), it follows that |z| < 1 for any value of $\Omega$.
Similarly, if σ > 0, then |z| > 1 for all$\Omega$ .
**稳定性：**如果的极点在s平面左半部分，那么它在z平面的映射点会在单位圆内，这意味着因果稳定的连续时间滤波器通过双线性变换后会映射为因果稳定的离散时间滤波器。

重要特性: 避免了脉冲不变性中会遇到的混叠问题，因为它把平面的整个虚轴都映射到了平面的单位圆上
适用的滤波器类型：由于频率扭曲的特性，双线性变换在设计近似具有分段恒定频率幅度特性的滤波器（如高通、低通和带通滤波器）时最有用。
脉冲不变性虽然也能用于设计低通滤波器，但对于高通连续时间滤波器设计向高通离散时间设计的映射就不适用了，因为高通连续时间滤波器不是带限的，会出现混叠问题。