统计是一门艺术（区间估计）

2025/2/19 9:42:11 来源：https://blog.csdn.net/m0_46240166/article/details/139953391 浏览: 次关键词：统计是一门艺术（区间估计）

1.区间估计

（1）基本概念

由于统计量的性质，每次取样的区间都是不一样的

我们希望可靠度尽可能的高的同时精度也尽可能的高，但往往这两者是矛盾的，不可以同时得到，于是我们希望在保证可靠度的基础上来使精度尽可能高。

对于置信区间的解释： $1-\alpha =0.95$

则为使用100次，平均大约有95次随机区间 $[\hat{\theta }_{1},\hat{\theta }_{2}]$ 包含真实未知参数 $\theta$ ，大约有5次随机区间 $[\hat{\theta }_{1},\hat{\theta }_{2}]$ 不包含真实未知参数 $\theta$ 。

（3）进行区间估计的方法

a.Neyman置信区间（枢轴变量法）

b.Fisher信仰推断法

c.容忍区间，容忍限

d.Bayes方法

2.正态总体的枢轴变量法

如何寻找枢轴变量：

a.寻找待估参数的一个优良的点估计（一般是UMVUE） $T(X)$

b.构造优良的点估计和待估参数的一个函数，该函数的分布与待估参数无关。 $\varphi (T(X),\theta )$

说明：

由于分布与待估参数无关，那么很容易计算概率并与置信水平比较。

由于是优良的点估计和待估参数的一个函数，那么可以将待估参数移到不等式中间，于是不等式两边就都是统计量。

单正态总体：

总体服从正态分布，样本i.i.d正态分布

（1）单正态总体均值 $\mu$ 的估计

$\mu \in \bar{X}\pm d$

$d=\left\{\begin{matrix} \frac{\sigma }{\sqrt{n}}U_{\alpha /2} & ,\sigma^{2}known\\ \frac{S }{\sqrt{n}}t_{n-1}(\alpha /2) & ,\sigma^{2}unknown \\ \frac{S }{\sqrt{n}}U_{\alpha /2} & ,\sigma^{2}unknown,but n>30\\ \end{matrix}\right.$ 此时总体不必正态。

由于概率是对称的，所以取对称区间是区间最短，即精度最高的

（2）单正态总体方差 $\sigma ^{2}$ 的估计

n个标准正态分布的和

$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}$ 的分布

两个正态总体的区间估计：

总体之间独立，样本之间独立

（1）均值差 $\mu _{1}-\mu_{2}$ 的区间估计

$\mu_{1}-\mu_{2} \in (\bar{X}-\bar{Y})\pm d$

$d=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{m}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n}}U_{\alpha /2} & ,\sigma_{1}^{2}known,\sigma_{2}^{2}known\\ \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}S_{W}t_{m+n-1}(\alpha /2) & ,\sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=\sigma^{2}=unknown \\ \sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{m}+\frac{S_{2}^{2}}{n}}U_{\alpha /2} & ,\sigma_{1}^{2}unknown,\sigma_{2}^{2}unknown,but n>30,m>30\\ \end{matrix}\right.$

最后一种情况总体不必正态。

m=n的情况下使用如上方法是不合理，因为不知道X与Y的对应关系，如果知道，那么就可以

（2）方差比的区间估计 $\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}$

均值的置信限：

上限和下限

单正态总体均值和双正态总体均值差的总结：

均值/均值差 $\pm$ d,其中d根据情况不同

对于置信限：只需要将 $\alpha /2$ 改为 $\alpha$ 即可，

即为：

上限： $\bar{X}+ d$

下限： $\bar{X}- d$

$d=\left\{\begin{matrix} \frac{\sigma }{\sqrt{n}}U_{\alpha} & ,\sigma^{2}known\\ \frac{S }{\sqrt{n}}t_{n-1}(\alpha) & ,\sigma^{2}unknown \\ \frac{S }{\sqrt{n}}U_{\alpha} & ,\sigma^{2}unknown,but n>30\\ \end{matrix}\right.$ 此时总体不必正态。