题目
一个随机变量
具有PDF 
。希望在没有任何可用数据的情况下估计
的一个现实。为此提出了使
最小的MMSE估计量，其中期望仅是对
求的。证明MMSE估计量为
。将你的结果应用到例10.1，当把数据考虑进去时，证明最小贝叶斯MSE是减少的。
解答
在贝叶斯估计情况下，我们是提前知道待估计量的先验分布，即
。一旦知道
就能获得相应的
和
。
所以，这个题目的物理意义，就是在没有任何额外数据情况下，根据先验分布，那可以获得
的MMSE估计量，就是
，此时对应的最小方差即：
而后续只要能获得可用数据，获得的方差都比
要小，而且随着数据的增多会越来越小。
下面开始证明：为了求得题目条件中的MMSE估计量，在方差中加入该估计量。令：
其中，
是对
的某一种估计，尽管暂时不知道，但里面肯定不包含
，而
通过积分后，
也不包含
，因此:
所以：
为了使得上式最小，那么显然需要：
这样，第二项非负值为0，此时，MMSE最小值为：
对于例10.1来说，
由10.12给出：
其中，
估计量先验方差，也就是：
也就是没有任何可用数据下，即
，此时：
与上述证明结论一致。后续只要获得数据，即
，那么都有：
也就是贝叶斯估计情况下，只要考虑数据，那么最小贝叶斯MSE是减小的。
