傅里叶变换的数学性质深度分析
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的基本工具，它揭示了信号在不同频率分量上的分布。傅里叶变换具有多种重要的数学性质，包括正交性、能量守恒（帕塞瓦尔定理）和频域对称性等。这些性质不仅在一维信号处理中成立，在二维图像处理中也有直接的扩展和应用。下面将对这些性质进行结构化的分析，并辅以清晰的数学表达式和图像处理中的示例说明。
正交性
傅里叶变换使用的基函数（如复指数函数 e i 2 π f t \displaystyle e^{i2\pi ft} ei2πft 或离散情况下的 e i 2 π k n / N e^{i2\pi kn/N} ei2πkn/N）构成一个正交基，这意味着不同频率的基函数在定义区间上内积为零。以离散傅里叶变换（DFT）为例，其基向量可表示为 ϕ k [ n ] = e 2 π i N k n \displaystyle \phi_k[n] = e^{\frac{2\pi i}{N} k n} ϕk[n]=eN2πikn（ k , n = 0 , 1 , … , N − 1 k,n=0,1,\dots,N-1 k,n=0,1,…,N−1）。这些基向量在长度为 N N N 的复数空间中是两两正交的，满足如下正交条件：
∑ n = 0 N − 1 e 2 π i N k n e − 2 π i N k ′ n = N δ k k ′ , \sum_{n=0}^{N-1} e^{\frac{2\pi i}{N} k n}\, e^{-\frac{2\pi i}{N} k' n} \;=\; N\,\delta_{k k'}\ , n=0∑N−1eN2πikne−N2πik′n=Nδkk′ ,
其中 δ k k ′ \delta_{k k'} δkk′ 是克罗内克δ函数。当 k ≠ k ′ k\neq k' k
