【dijkstra】迪杰斯特拉算法洛谷 P1828例题代码讲解

【dijkstra】迪杰斯特拉算法

洛谷P1828 香甜的黄油例题讲解

算法介绍

Dijkstra算法是一种用于解决图论中最短路径问题的贪心算法。它由荷兰计算机科学家艾兹格·迪克斯特拉（Edsger Dijkstra）于1956年首次提出，主要用于寻找有向加权无环图(如果有负环，则不能用dijkstra算法，建议spfa)中从起点到其他所有顶点的最短路径。该算法通过迭代的方式更新每个节点的最短距离，直到找到目标节点或遍历完整个图。

算法工作原理如下：

初始化：标记源节点的距离为0，其余节点距离为无穷大；将源节点加入待处理集合（通常称为“优先队列”）。
选择最小距离节点：从未处理集合中取出当前距离最小的节点，并将其从集合中移除。
更新邻接节点：对于该节点的所有邻居，如果经过该节点到达它们的距离小于之前的估计值，就更新其距离并将它们加入待处理集合。重复步骤2和3，直到处理完所有节点或者找到目标节点。

例题演示

[USACO3.2] 香甜的黄油 Sweet Butter

题目描述

Farmer John 发现了做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。

把糖放在一片牧场上，他知道 $N$ 只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。当然，他将付出额外的费用在奶牛上。

Farmer John 很狡猾。像以前的 Pavlov，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。

Farmer John 知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。

输入格式

第一行包含三个整数 $N, P, C$ ，分别表示奶牛数、牧场数和牧场间道路数。

第二行到第 $N + 1$ 行，每行一个整数，其中第 $i$ 行的整数表示第 $i - 1$ 头奶牛所在的牧场号。

第 $N + 2$ 行到第 $N + C + 1$ 行，每行包含三个整数 $A, B, D$ ，表示牧场号为 $A$ 和 $B$ 的两个牧场之间有一条长度为 $D$ 的双向道路相连。

输出格式

输出一行一个整数，表示奶牛必须行走的最小的距离和。

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

数据范围

对于所有数据， $\le N \le 500$ ， $\le P \le 800$ ， $\le A,B \le P$ ， $\le C \le 1450$ ， $\le D \le 255$ 。

样例解释

作图如下：

          P2  
P1 @--1--@ C1|| 5  7  3|   |     C3C2 @--5--@P3    P4

把糖放在4号牧场最优。

代码与讲解

此题题型十分经典，类似于“医院设置”这题，都是一个图，每个结点带上一个权值，在每一个结点取一个位置，计算出整个图的一个值的和，可以说是经典一类题。之前在【DFS】洛谷P1364 医院设置里面也有讲过😊，如果看这题有点费力，可以先去看一看那题，相信看完之后再回到这题会豁然开朗。
具体步骤

储存所有的奶牛对应的牧场号，并读入牧场的平面图
从每一个牧场结点开始，算法搜索并计算求和，将每一次的结果存在minn里面
写dijsktra代码，注意含参

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define PII pair<int,int>//定义整型对
#define pb push_back
#define se second
#define int long long
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)//加快输入输出
using namespace std;
const int N = 1e4;
int n,p,c,arr[N];
int dis[N],minn = 1e9,sum;
bool vis[N];
vector <PII> v[N];
map <int,int> mp;void dijkstra(int A)//含参的dijsktra函数
{priority_queue <PII,vector<PII>,greater<PII>> q;//开含整型对的优先队列，并从小到大排序for(int i = 1;i <= p;i++)//将每个结点到原点的初始距离设成无穷大（以便后期比较大小刷新），每个点标记为0{dis[i] = 1e9;vis[i] = 0;}q.push({0,A});//将距离放在队列参数的第一个，以便于优先队列的自动字典序排列dis[A] = 0;//初始距离为0while(q.size()){auto t = q.top();//拿出队头q.pop();//弹出来int now = t.se;//取出队头的第二个参数：点if(vis[now])	continue;//当这个点用过了就直接跳过vis[now] = 1;//标记这个点，表示已经用过for(auto tt:v[now])//搜索邻接结点{int spot = tt.fi,w = tt.se;//拿出结点的两个参数（点，边权）if(dis[spot] > dis[now] + w)//当此时点到原点的距离没有将要更新的更小时{dis[spot] = dis[now] + w;//更新q.push({dis[spot],spot});//压入队列}}}
}signed main()
{IOS;//加快输入输出cin>>n>>p>>c;for(int i = 1;i <= n;i++)//重复奶牛个数次{int a;cin>>a;mp[a]++;//用map来存储每一个奶牛}for(int i = 1;i <= c;i++)//重复边条数次{int a,b,c;cin>>a>>b>>c;v[a].pb({b,c});//建边，最后一个参数是权值v[b].pb({a,c});//双向边}for(int i = 1;i <= p;i++)//重复牧场（图的结点）个数次{sum = 0;//求和初始为0dijkstra(i);//在每一个点开始算for(int j = 1;j <= p;j++)	sum += dis[j]*mp[j];//将图上每一个奶牛与距离的积求和minn = min(minn,sum);//存进minn变量，同时保证闽南、始终是最小的那一个}cout<<minn;//输出
}

总结

dijkstra算法对于初学者来说还是有一点小复杂的，主要因为它涉及到优先队列的自动排序问题，但耐下心来，一步步模拟，感受算法的过程，多写一写代码，慢慢的就会感觉到也不是那么复杂。迪杰斯特拉是一种很巧妙且快捷的算法，在各个方面的都有跟大的作用😎

【dijkstra】迪杰斯特拉算法洛谷 P1828例题代码讲解