动态规划-乘积最大子数组

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续 子数组 （该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。 测试用例的答案是一个 32-位 整数。

152. 乘积最大子数组 - 力扣（LeetCode）

解题思路

使用了两个动态规划数组 f 和 g 来分别跟踪到当前位置为止，乘积最大和最小的子数组乘积。这是基于以下观察：

1. 最大乘积（f 数组）：在遍历数组时，对于每个位置 i，最大乘积要么是当前元素 nums[i] 本身（如果前面的元素都是负数或者乘积小于当前元素），要么是前面位置的最大乘积 f[i-1] 乘以当前元素 nums[i]（如果前面的乘积是正数或者0）。但是，当遇到负数时，我们需要考虑前一个位置的最小乘积 g[i-1] 乘以当前负数 nums[i] 是否能产生新的最大乘积（因为负数乘以负数会变成正数）。

2. 最小乘积（g 数组）：与最大乘积类似，最小乘积的更新也考虑了当前元素、前一个位置的最小乘积乘以当前元素，以及前一个位置的最大乘积乘以当前元素（当当前元素为负数时）。这是因为，负数乘以正数（前一个位置的最大乘积）会得到一个更小的负数，这可能是新的最小乘积。

上述的动态规划思路与此前的最大子数组和一题相似。

在遍历过程中，f 和 g 数组被逐步构建，并且我们始终保持 f 数组中的最大值作为当前已知的最大乘积。遍历完成后，f 数组中的最大值即为所求的最大乘积子数组的乘积。

代码示例

class Solution {
public:int maxProduct(vector<int>& nums) {int n = nums.size();vector<int> f(n, 0); // 乘积最大的子数组vector<int> g(n, 0); // 乘积最小的子数组f[0] = g[0] = nums[0];for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] > 0) {f[i] = max(nums[i] * f[i - 1], nums[i]);g[i] = min(nums[i], nums[i] * g[i - 1]);} else {f[i] = max(nums[i], nums[i] * g[i - 1]);g[i] = min(nums[i], nums[i] * f[i - 1]);}}int ret = f[0];for (int i = 1; i < n; i++) {ret = max(ret, f[i]);}return ret;}
};

 

以下是代码的主要步骤：

• 初始化 f[0] 和 g[0] 为 nums[0]，因为第一个元素既是最大乘积也是最小乘积的起点。
• 遍历数组 nums，从第二个元素开始：
  • 如果当前元素 nums[i] 是正数，则最大乘积 f[i] 可以是 nums[i] 或者 nums[i] * f[i-1]（取决于哪个更大），最小乘积 g[i] 可以是 nums[i] 或者 nums[i] * g[i-1]（取决于哪个更小）。
  • 如果当前元素 nums[i] 是负数，则最大乘积 f[i] 可以是 nums[i] 或者 nums[i] * g[i-1]（因为负数乘以负数变正数，可能成为新的最大乘积），最小乘积 g[i] 可以是 nums[i] 或者 nums[i] * f[i-1]（因为负数乘以正数变得更小）。
• 遍历完成后，f 数组中的最大值即为所求的最大乘积。