CCF-CSP第31次认证第二题——坐标变换（其二）【NA！前缀和思想的细节，输出为0的常见原因】

CCF-CSP第31次认证第二题——坐标变换（其二）

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题目描述

对于平面直角坐标系上的坐标 (𝑥,𝑦)(x,y)，小 P 定义了如下两种操作：

拉伸 𝑘k 倍：横坐标 𝑥x 变为 𝑘𝑥kx，纵坐标 𝑦y 变为 𝑘𝑦ky；
旋转 𝜃θ：将坐标 (𝑥,𝑦)(x,y) 绕坐标原点 (0,0)(0,0) 逆时针旋转 𝜃θ 弧度（0≤𝜃<2𝜋0≤θ<2π）。易知旋转后的横坐标为 𝑥cos⁡𝜃−𝑦sin⁡𝜃xcosθ−ysinθ，纵坐标为 𝑥sin⁡𝜃+𝑦cos⁡𝜃xsinθ+ycosθ。

设定好了包含 𝑛n 个操作的序列 (𝑡1,𝑡2,⋯,𝑡𝑛)(t1,t2,⋯,tn) 后，小 P 又定义了如下查询：

i j x y：坐标 (𝑥,𝑦)(x,y) 经过操作 𝑡𝑖,⋯,𝑡𝑗ti,⋯,tj（1≤𝑖≤𝑗≤𝑛1≤i≤j≤n）后的新坐标。

对于给定的操作序列，试计算 𝑚m 个查询的结果。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入共 𝑛+𝑚+1n+m+1 行。

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 𝑛n 和 𝑚m，分别表示操作和查询个数。

接下来 𝑛n 行依次输入 𝑛n 个操作，每行包含空格分隔的一个整数（操作类型）和一个实数（𝑘k 或 𝜃θ），形如 1 𝑘1 k（表示拉伸 𝑘k 倍）或 2 𝜃2 θ（表示旋转 𝜃θ）。

接下来 𝑚m 行依次输入 𝑚m 个查询，每行包含空格分隔的四个整数 𝑖i、𝑗j、𝑥x 和 𝑦y，含义如前文所述。

输出格式

输出到标准输出。

输出共 𝑚m 行，每行包含空格分隔的两个实数，表示对应查询的结果。

样例输入

10 5
2 0.59
2 4.956
1 0.997
1 1.364
1 1.242
1 0.82
2 2.824
1 0.716
2 0.178
2 4.094
1 6 -953188 -946637
1 9 969538 848081
4 7 -114758 522223
1 9 -535079 601597
8 8 159430 -511187

样例输出

-1858706.758 -83259.993
-1261428.46 201113.678
-75099.123 -738950.159
-119179.897 -789457.532
114151.88 -366009.892

样例解释

第五个查询仅对输入坐标使用了操作八：拉伸 0.7160.716 倍。

横坐标：159430×0.716=114151.88159430×0.716=114151.88

纵坐标：−511187×0.716=−366009.892−511187×0.716=−366009.892

由于具体计算方式不同，程序输出结果可能与真实值有微小差异，样例输出仅保留了三位小数。

子任务

80%80% 的测试数据满足：𝑛,𝑚≤1000n,m≤1000；

全部的测试数据满足：

𝑛,𝑚≤105n,m≤105；
输入的坐标均为整数且绝对值不超过 106106；
单个拉伸操作的系数 𝑘∈[0.5,2]k∈[0.5,2]；
任意操作区间 𝑡𝑖,⋯,𝑡𝑗ti,⋯,tj（1≤𝑖≤𝑗≤𝑛1≤i≤j≤n）内拉伸系数 𝑘k 的乘积在 [0.001,1000][0.001,1000] 范围内。

评分方式

如果你输出的浮点数与参考结果相比，满足绝对误差不大于 0.10.1，则该测试点满分，否则不得分。

提示

C/C++：建议使用 double 类型存储浮点数，并使用 scanf("%lf", &x); 进行输入，printf("%f", x); 输出，也可以使用 cin 和 cout 输入输出浮点数；#include <math.h> 后可使用三角函数 cos() 和 sin()。
Python：直接使用 print(x) 即可输出浮点数 x；from math import cos, sin 后可使用相应三角函数。
Java：建议使用 double 类型存储浮点数，可以使用 System.out.print(x); 进行输出；可使用 Math.cos() 和 Math.sin() 调用三角函数。

参考题解

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>using namespace std;struct Option {int type; //操作类型 double var; //拉伸或旋转系数 
};struct Query {int i;int j;int x;int y;
};int main () {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);vector<Option> options(n);for(int i = 0; i < n; i++) {int t;double v = 0.0;scanf("%d%lf", &t, &v);options[i] = {t, v};}vector<Query> query(m);for(int i = 0; i < m; i++) {int a1, a2, a3, a4;scanf("%d%d%d%d", &a1, &a2, &a3, &a4);
//		printf("%d%d%d%d", a1, a2, a3, a4);query[i] = {a1, a2, a3, a4};
//		printf("query:%d%d", query[i].x, query[i].y);}for(const auto& q : query) {double x = q.x;double y = q.y;for(int k = q.i - 1; k < q.j; k++) {double v = options[k].var;if(options[k].type == 1) {x *= v;y *= v;}else {int temp = x;x = x * cos(v) - y * sin(v);y = temp * sin(v) + y *cos(v);}}printf("%f %f\n", x, y);}return 0;
}

优化版

上个版本属于暴力法了，效率存在问题，时间复杂度过大

时间复杂度分析

代码在每个查询时都对操作序列进行遍历：

操作序列遍历：对于每个查询，内层循环会遍历从 i 到 j 的所有操作。最坏情况下，如果 i = 1，j = n，则内层循环会遍历整个操作序列，时间复杂度是 O(n)。
查询处理：每次查询的处理时间为 O(j - i + 1)，即 O(n) 在最坏情况下。因此，查询的总时间复杂度为 O(m * n)，其中 m 是查询的个数，n 是操作的个数。

总体时间复杂度：

在最坏情况下，时间复杂度为 O(n * m)，即 O(10^10) 的复杂度，这显然是不可接受的。

优化建议

前缀积法 (Prefix Product) 用于拉伸操作：
- 拉伸操作是对坐标的乘法操作，可以利用前缀积来优化。对于连续的拉伸操作，可以预先计算每个操作的前缀积，而不是每次查询时都进行重复计算。
- 前缀积：创建一个数组 prefix，其中 prefix[i] 表示从操作 1 到操作 i 所有拉伸操作的乘积。然后在查询时，只需要利用前缀积数组来快速计算出从 i 到 j 之间的拉伸操作的乘积。
旋转操作：
- 旋转操作是基于三角函数的，这个部分也可以通过前缀和类似的思想来加速，维护一个旋转角度的累积和（而不是每次都重新计算旋转矩阵）。
- 累积旋转角度：对于每个旋转操作，维护一个累积的旋转角度（角度的加法）。对于查询时，只需要计算区间内的总旋转角度，然后对该总角度应用一次旋转即可。

错误：输出全为0，原因：数组越界

错误：前缀数组大小设置不合适

在i = 1时，i - 2为-1，不合法，所以应将数组大小设为 n + 1 ，此时pre[i] 表示前 i 个操作的累积结果。

错误：输出为0

为什么上面这个代码输出就是0，下面这个就输出正常了？？

原来是因为定义结构体Query时将x，y定义为了int，则在第一个代码中直接修改 q.x 和 q.y 时，浮点数运算结果会被强制转换为整数，导致精度丢失。

不要看到题目中说四个整数，后面就忽略了数据精度这个问题

优化结果

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>using namespace std;struct Option {int type; //操作类型 double v; //拉伸或旋转系数 
};struct Query {int i;int j;int x;int y;
};int main () {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);vector<Option> option(n);for(int i = 0; i < n; i++) {int t;double v = 0.0;scanf("%d%lf", &t, &v);option[i] = {t, v};}vector<Query> query(m);for(int i = 0; i < m; i++) {int a1, a2, a3, a4;scanf("%d%d%d%d", &a1, &a2, &a3, &a4);query[i] = {a1, a2, a3, a4};}// 初始化前缀积数组和旋转角度数组vector<double> preP(n + 1, 1.0); //拉伸系数的前缀积数组vector<double> preR(n + 1, 0.0); //旋转系数的前缀和数组 for(int i = 1; i <= n; i++) {if(option[i - 1].type == 1) {preP[i] = preP[i - 1] * option[i - 1].v;preR[i] = preR[i - 1];}else {preR[i] = preR[i - 1] + option[i - 1].v;preP[i] = preP[i - 1];}}for(auto& q : query) {double x = q.x;double y = q.y;//处理拉伸 double product =  preP[q.j] / preP[q.i - 1];x *= product;y *= product;//处理旋转double rotation = preR[q.j] - preR[q.i - 1]; double temp = x;x = x * cos(rotation) - y * sin(rotation); y = temp * sin(rotation) + y *cos(rotation);printf("%f %f\n", x, y);}return 0;
}