矩阵对角化→实对称矩阵的对角化→实对称半正定矩阵的对角化

上篇：特征值→相似矩阵→矩阵对角化（特征值分解）

实对称矩阵正交对角化

• 实对称矩阵是指满足$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\mathsf{T}}$的矩阵，其中${\mathbf{A}}^{\mathsf{T}}$是$\mathbf{A}$的转置矩阵。
• 对称矩阵的特征值均为实数。
• 实对称矩阵可相似对角化，且相似对角矩阵中的元素为矩阵的特征值。实对称矩阵可以通过正交矩阵对角化，即存在由其单位化特征向量作为正交基组成的正交矩阵$P$，使得${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}=\Lambda$，其中$\Lambda$是以$\mathbf{A}$的特征值为对角元素的对角矩阵。

实对称半正定矩阵正交对角化

• 半正定矩阵是特殊的对称矩阵，其特征值均为非负实数。
• 半正定矩阵的特征值非负，可以找到一组正交的特征向量，将其单位化后构成正交矩阵$P$，使得${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}=\Lambda$，其中$\Lambda$的对角元素为$\mathbf{A}$的非负特征值。