【算法】DP系列之 路径问题

【ps】本篇有 6 道 leetcode OJ。

目录

一、算法简介

二、相关例题

1）不同路径

.1- 题目解析

.2- 代码编写

2）不同路径 II

.1- 题目解析

.2- 代码编写

3）珠宝的最高价值

.1- 题目解析

.2- 代码编写

4）下降路径最小和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

5）最小路径和

.1- 题目解析

.2- 代码编写

6）地下城游戏

.1- 题目解析

.2- 代码编写

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一、算法简介

        动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

        动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

        与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上）。

【Tips】动态规划算法解决问题的分类

• 计数：有多少种方式走到右下角 / 有多少种方法选出k个数使得和是 sum。
• 求最大值/最小值：从左上角走到右下角路径的最大数字和最长上升子序列长度。
• 求存在性：取石子游戏，先手是否必胜 / 能不能取出 k 个数字使得和是 sum。

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【Tips】动态规划dp算法一般步骤

1. 确定状态表示（dp[ i ] 的含义是什么，来源：1、题目要求；2、经验+题目要求；3、分析问题时发现重复子问题）
2. 状态转移方程（可求得 dp[ i ] 的数学公式，来源：题目要求+状态表示）
3. 初始化（dp 表中特别的初始值，保证填 dp 表时不会越界，来源：题目要求+状态表示）
4. 填表顺序（根据状态转移方程修改 dp[ i ] 的方式，来源：题目要求+状态表示）
5. 返回值（题目求解的结果，来源：题目要求+状态表示）

二、相关例题

1）不同路径

62. 不同路径

.1- 题目解析

• dp[i][j] 表示：到 [i, j] 位置处，⼀共有多少种方式。
• 状态转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
• 初始化：dp[0][1] = 1（ps：我们创建了虚拟节点来映射下标）。
• 填表顺序：从左往右、从上到下。
• 返回值：dp[m][n]。

.2- 代码编写

class Solution {
public:int uniquePaths(int m, int n) {vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));dp[0][1]=1;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];return dp[m][n];}
};

2）不同路径 II

63. 不同路径 II

.1- 题目解析

• dp[i][j] 表示：到 [i, j] 位置处，一共有多少种方式。
• 状态转移方程：如果不是障碍物，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]；如果是障碍物，为 dp[i][j] = 0。
• 初始化：dp[1][0] = 1（ps：我们创建了虚拟节点来映射下标）。
• 填表顺序：从左往右、从上到下。
• 返回值：dp[m][n]。

.2- 代码编写

class Solution {
public:int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {int m=obstacleGrid.size(),n=obstacleGrid[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));dp[1][0]=1;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)if(obstacleGrid[i-1][j-1]==0)dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];return dp[m][n];}
};

3）珠宝的最高价值

LCR 166. 珠宝的最高价值

.1- 题目解析

• dp[i][j] 表示：到 [i, j] 位置处，此时的最大价值。
• 状态转移方程：dp[i][j] = frame[i-1][j-1] + max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
• 初始化：dp[0][0] = 0（ps：我们创建了虚拟节点来映射下标）。
• 填表顺序：从左往右、从上到下。
• 返回值：dp[m][n]。

.2- 代码编写

class Solution {
public:int jewelleryValue(vector<vector<int>>& frame) {int m=frame.size(),n=frame[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+frame[i-1][j-1];//注意引入虚拟节点后，下标的映射return dp[m][n];}
};

4）下降路径最小和

931. 下降路径最小和

.1- 题目解析

• dp[i][j] 表示：到 [i, j] 位置处，此时下降路径最小和。
• 状态转移方程：dp[i][j] = matrix[i-1][j-1] + min(min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]), dp[i-1][j+1])。
• 初始化：为了保证填表正确，将 dp 表的第一行全部初始化为 0，其余元素初始化为整型最大值 INT_MAX（ps：我们创建了虚拟节点来映射下标）。
• 填表顺序：从上到下。
• 返回值：dp 表最后一行中的最小值。

.2- 代码编写

class Solution {
public:int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {int n=matrix.size();vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));for(int j=0;j<n+2;j++) dp[0][j]=0;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1]))+ matrix[i-1][j-1];int ret=INT_MAX;for(int j=1;j<=n;j++)ret=min(ret,dp[n][j]);return ret;}
};

5）最小路径和

64. 最小路径和

.1- 题目解析

• dp[i][j] 表示：到 [i, j] 位置处，此时的最小路径和。
• 状态转移方程：dp[i][j] = grid[i-1][j-1] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
• 初始化：为了保证填表正确，dp[0][1]=dp[1][0]=0，其余元素初始化为整型最大值 INT_MAX（ps：我们创建了虚拟节点来映射下标）。
• 填表顺序：从上到下、从左往右。
• 返回值：dp[m][n]。

.2- 代码编写

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int m=grid.size(),n=grid[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));dp[0][1]=dp[1][0]=0;for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=n;j++)dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i-1][j-1];return dp[m][n];}
};

6）地下城游戏

174. 地下城游戏

.1- 题目解析

        这道题的状态表示如果定义成：“从起点开始，到达 [i, j] 位置的时候，所需的最低初始健康点数”， 那么分析状态转移方程的时候会有一个问题，当前的健康点数还会受到后面的路径的影响。也就是说，从上往下的状态转移不能很好地解决问题。

        此时我们可以换⼀种状态表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需要的最低初始健康点数。这样在分析状态转移的时候，后续的最佳状态就已经知晓。

• dp[i][j] 表示：从 [i, j] 位置出发，到达终点时所需的最低初始健康点数。
• 状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j] 和 dp[i][j]=max(1,dp[i][j])；如果当前位置的 dungeon[i][j] 是⼀个比较大的正数的话（大血包）， 由状态转移方程，dp[i][j] 的值可能变成 0 或负数，也就是说，骑士会死亡，但这显然是不合理的，因此，求出来的 dp[i] [j] 如果小于等于 0 的话，此时的最低初始值其实应该为 1 。
• 初始化：在 dp 表最后面添加一行，并且添加一列后，所有的值都先初始化为INT_MAX，然后让 dp[m][n - 1] = dp[m - 1][n] = 1 即可。
• 填表顺序：从下往上、从右往左。
• 返回值：dp[0][0]。

 

.2- 代码编写

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {int m=dungeon.size(),n=dungeon[0].size();vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1,INT_MAX));dp[m][n-1]=dp[m-1][n]=1;for(int i=m-1;i>=0;i--)for(int j=n-1;j>=0;j--){dp[i][j]=min(dp[i+1][j],dp[i][j+1])-dungeon[i][j];dp[i][j]=max(1,dp[i][j]);}    return dp[0][0];}
};