解码 ResNet：残差块如何增强深度学习性能【数学推导】

ResNet简介

残差网络结构

残差网络（ResNet）是由何凯明等人在2015年提出的，它极大地提高了深度神经网络的训练效果，尤其是非常深的网络。ResNet的核心思想是引入“残差块”（Residual Block），通过跳跃连接（Shortcut Connection）解决深层网络的梯度消失和梯度爆炸问题。

结构示意图：

• 输入层
• 一系列的卷积层（Conv Layers）
• 残差块（Residual Blocks）
• 全连接层（Fully Connected Layer）
• 输出层

在传统的卷积神经网络中，每一层都会对输入的特征进行某种变换，比如卷积操作，然后直接输出这些变换后的结果到下一层。可以把这种变换看作是对输入进行处理和提取新的特征。
$${\mathbf{y}}_l={\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)$$

而ResNet通过增加一条跳跃连接，使得每个残差块输出的是“变换后的特征+原始输入特征”，即：

y = F ( x , { W i } ) + x \mathbf{y} = \mathcal{F}(\mathbf{x}, \{W_i\}) + \mathbf{x} y=F(x,{Wi​})+x

其中， F ( x , { W i } ) \mathcal{F}(\mathbf{x}, \{W_i\}) F(x,{Wi​}) 表示通过多层卷积、激活等操作后的特征，$\mathbf{x}$ 表示原始输入特征。

什么是跳跃连接？

跳跃连接（Shortcut Connection），又称为“短路连接”或“直连”，是一种直接将输入信号传递到输出信号的技术。具体来说，就是在每个残差块中，除了正常的变换路径外，还增加了一条直接连接输入和输出的路径。

为什么要使用跳跃连接？

在深层网络中，随着层数的增加，梯度可能会逐渐消失或者爆炸，这会导致网络很难训练。而跳跃连接的引入可以缓解这个问题，因为它允许梯度直接传递到前面的层，确保梯度不会消失。

跳跃连接如何缓解梯度消失和梯度爆炸问题

为了理解跳跃连接如何缓解梯度消失和梯度爆炸问题，我们需要从反向传播（Backpropagation）的角度分析梯度传递过程。

在传统的深层网络中，假设某一层的输入是 ${\mathbf{x}}_l$ ，输出是 ${\mathbf{y}}_l$ 。每层的变换函数记为 ${\mathcal{F}}_l$，那么：

$${\mathbf{y}}_l={\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)$$

而在ResNet中，增加了跳跃连接后，输出变为：

$${\mathbf{y}}_l={\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)+{\mathbf{x}}_l$$

在反向传播中，我们需要计算每层的梯度。对于传统的深层网络，第 $l$ 层的梯度计算如下：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{x}}_l}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{y}}_l}\cdot \frac{\partial {\mathbf{y}}_l}{\partial {\mathbf{x}}_l}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{y}}_l}\cdot \frac{\partial {\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l}$$

而在ResNet中，由于增加了跳跃连接，梯度的计算变为：

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{x}}_l}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial {\mathbf{y}}_l}\cdot \left(\frac{\partial {\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l}+\mathbf{I}\right)$$

这里，$\mathbf{I}$ 是单位矩阵，表示跳跃连接的梯度。

梯度分析

在ResNet中，由于跳跃连接的存在，梯度不仅传递了变换部分（ $\frac{\partial {\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l}$ ），还传递了输入部分（ $\mathbf{I}$ ），这意味着即使在深层网络中，梯度也能有效地通过跳跃连接传递到前面的层，而不会完全依赖于 $\frac{\partial {\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l}$ 。

具体来说，如果 $\frac{\partial {\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l}$ 在深层网络中趋近于0（梯度消失）或趋近于无穷大（梯度爆炸），跳跃连接的单位矩阵 $\mathbf{I}$ 确保了梯度至少能通过 $\mathbf{I}$ 进行传递，缓解了梯度消失或爆炸的问题。

总结

1. 跳跃连接的引入：在每个残差块中，除了对输入特征进行卷积、归一化和激活等操作外，还增加了一条直接传递输入特征到输出的路径。
2. 公式中的体现：输出特征不仅包含变换后的特征，还加上了输入特征，即 $\mathbf{y}=\mathcal{F}(\mathbf{x})+\mathbf{x}$ 。
3. 缓解梯度问题：跳跃连接确保了梯度在反向传播过程中，即使变换部分的梯度消失或爆炸，输入特征的梯度(\mathbf{I})也能直接传递，避免梯度完全消失或爆炸。

残差块的组成及功能

残差块是ResNet的基本单元，每个残差块中包含了两个主要部分：

1. 变换路径：对输入进行卷积、批量归一化和激活操作。
2. 跳跃连接（Shortcut Connection）：直接将输入传递到输出，不进行任何变换，只是将输入特征原样添加到经过变换后的特征上。

详细组成：

1. 卷积层（Convolutional Layer）：提取特征。
2. 批量归一化层（Batch Normalization Layer）：加速训练，稳定输入。
3. ReLU激活函数（ReLU Activation Function）：引入非线性，提高网络表达能力。
4. 跳跃连接（Shortcut Connection）：将输入直接加到输出上。

具体的操作流程如下：

1. 输入特征 $\mathbf{x}$ 通过卷积层和批量归一化层，得到变换后的特征 $\mathcal{F}(\mathbf{x})$ 。
2. 变换后的特征 $\mathcal{F}(\mathbf{x})$ 与输入特征 $\mathbf{x}$ 相加，得到输出特征 $\mathbf{y}$：

y = F ( x , { W i } ) + x \mathbf{y} = \mathcal{F}(\mathbf{x}, \{W_i\}) + \mathbf{x} y=F(x,{Wi​})+x

这里，$\mathbf{x}$ 直接通过跳跃连接加到变换后的特征 $\mathcal{F}(\mathbf{x})$ 上。

3. 输出特征 $\mathbf{y}$ 再经过ReLU激活函数：

$$\mathbf{y}=\text{ReLU}(\mathbf{y})$$

这种设计可以确保即使在深层网络中，梯度也能有效传播，避免梯度消失或爆炸。

ResNet的输出计算

在ResNet中，每一层的输出不仅仅取决于当前层的输入，还包括了前面层的输入，这种设计使得网络能够更有效地学习。

详细的数学推导：
假设一个简单的ResNet包含L个残差块，每个残差块输出为 ${\mathbf{y}}_l$ ，输入为${\mathbf{x}}_l$ ，则有：

$${\mathbf{y}}_l={\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)+{\mathbf{x}}_l$$

其中 ${\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)$ 表示第l个残差块中的变换函数（例如两层卷积和ReLU激活函数）。

整个网络的输入为 ${\mathbf{x}}_0$ ，输出为 ${\mathbf{y}}_L$，即：

$${\mathbf{y}}_L={\mathcal{F}}_L({\mathbf{y}}_{L-1})+{\mathbf{y}}_{L-1}$$
$${\mathbf{y}}_{L-1}={\mathcal{F}}_{L-1}({\mathbf{y}}_{L-2})+{\mathbf{y}}_{L-2}$$
$$⋮$$
$${\mathbf{y}}_1={\mathcal{F}}_1({\mathbf{x}}_0)+{\mathbf{x}}_0$$

逐层递推，我们可以得到最终的输出：

$${\mathbf{y}}_L={\mathbf{x}}_0+\sum _{l=1}^L{\mathcal{F}}_l({\mathbf{x}}_l)$$

这种设计可以看作是对输入的逐层增强，每层不仅仅是对输入的简单变换，更是对前面所有层次特征的累积。

总结

1. 残差网络结构：ResNet引入了残差块，每个残差块中有一条跳跃连接直接将输入加到输出上，这样即使网络很深，信息也能有效传递。
2. 残差块的组成及功能：每个残差块由卷积、批量归一化、ReLU激活和跳跃连接组成，确保输入信息能够直接加到输出上。
3. ResNet的输出计算：通过逐层递推，每一层的输出都是对输入和变换后特征的累积，使得网络能够更有效地学习深层特征。

具体实现：残差块的工作原理

1. 输入特征（原始输入特征）：假设输入特征是 $\mathbf{x}$。
2. 变换路径：输入特征 $\mathbf{x}$ 经过一系列的卷积操作、批量归一化和激活函数后，得到变换后的特征 $\mathcal{F}(\mathbf{x})$ 。
3. 跳跃连接：在变换路径之外，直接将输入特征 $\mathbf{x}$ 加到变换后的特征$\mathcal{F}(\mathbf{x})$上，得到输出特征 $\mathbf{y}$：

$$\mathbf{y}=\mathcal{F}(\mathbf{x})+\mathbf{x}$$

这里，$\mathcal{F}(\mathbf{x})$ 是通过卷积和激活操作后的特征，$\mathbf{x}$ 是原始输入特征。这样，每个残差块的输出就是“变换后的特征+原始输入特征”。