三角函数和差角公式对于任意角的证明（代数法）

前置知识：平面向量、诱导公式

和差角公式的证明如下：

​ 对于每个始边为 $x$ 轴正半轴的角 $\theta$ ，令平面向量 ${\vec{a}}_{\theta }$ 是 $xOy$ 中，以 $O$ 为起点，方向沿着的 $\theta$ 终边的单位向量

​ 则 ${\vec{a}}_0$ 是沿 $x$ 正半轴上的单位向量，${\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}$ 是沿 $y$ 轴正半轴的单位向量

​ 考虑 ${\vec{a}}_{\alpha +\beta }$ ，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意角,它等于它在 $x$ 轴上的投影加上在 $y$ 轴上的投影，即

$${\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos (\alpha +\beta ){\vec{a}}_0+\sin (\alpha +\beta ){\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}$$

​ 同时，${\vec{a}}_{\alpha +\beta }$ 还等于它在 ${\vec{a}}_{\alpha }$ 和 ${\vec{a}}_{\alpha +\frac{\pi }{2}}$ 上的投影的和，${\vec{a}}_{\alpha +\beta }$ 与这两个向量的夹角分别为 $\beta$ 和 $\beta -\frac{\pi }{2}$，即

$${\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos \beta {\vec{a}}_{\alpha }+\cos (\beta -\frac{\pi }{2}){\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos \beta {\vec{a}}_{\alpha }+\sin \beta {\vec{a}}_{\alpha +\beta }$$

​ 然后，再把 ${\vec{a}}_{\alpha }$ 和 ${\vec{a}}_{\alpha +\frac{\pi }{2}}$ 以 ${\vec{a}}_0$ 和 ${\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}$ 为基底进行拆分：

$$\begin{gathered} {\vec{a}}_{\alpha }=\cos \alpha {\vec{a}}_0+\sin \alpha {\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}} \\ {\vec{a}}_{\alpha +\frac{\pi }{2}}=\cos (\alpha +\frac{\pi }{2}){\vec{a}}_0+\sin (\alpha +\frac{\pi }{2}){\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}=-\sin \alpha {\vec{a}}_0+\cos \alpha {\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}} \end{gathered}$$

​ 代入 ${\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos \beta {\vec{a}}_{\alpha }+\sin \beta {\vec{a}}_{\alpha +\beta }$ 得到：

$$\begin{gathered} {\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos \beta (\cos \alpha {\vec{a}}_0+\sin \alpha {\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}})+\sin \beta \overrightarrow{(}-\sin \alpha {\vec{a}}_0+\cos \alpha {\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}) \\ =(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ){\vec{a}}_0+(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ){\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}} \end{gathered}$$

​ 于是，我们得到

$$\{\begin{array}{l}{\vec{a}}_{\alpha +\beta }=\cos (\alpha +\beta ){\vec{a}}_0+\sin (\alpha +\beta ){\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}}\\ {\vec{a}}_{\alpha +\beta }=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ){\vec{a}}_0+(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta ){\vec{a}}_{\frac{\pi }{2}})\end{array}$$

​ 结合平面向量基本定理得到：

$$\{\begin{array}{l}\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \end{array}$$

​ 由于 $\alpha$ 和 $\beta$ 是任意角，我们可以带入 $\alpha +(-\beta )$，结合诱导公式得到

$$\begin{gathered} \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \end{gathered}$$

​ 至此，我们证明了

$$\begin{gathered} \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \end{gathered}$$

​ 那么可以得到

$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{sin(\alpha \pm \beta )}{\cos (\alpha \pm \beta )}=\frac{\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$$

​ 上下同时除以 $\cos \alpha \cos \beta$ 得到

$$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$$

​ 综上所述

$$\begin{gathered} \boxed{\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } \\ \boxed{\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } \\ \boxed{\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }} \end{gathered}$$

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