如何在AVL树中高效插入并保持平衡：一步步掌握旋转与平衡因子 —— 平衡因子以及AVL结构篇

AVL树的概念

AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是一种自平衡二叉查找树，它的特点是每个节点的左子树和右子树的高度差不能超过1。这意味着AVL树是一种平衡的二叉树，通过保持树的平衡来保证查找操作的时间复杂度为O(log n)，从而提高性能。

AVL树当中，重要的一个概念：

• 平衡因子（Balance Factor, BF）： 每个节点都有一个平衡因子，定义为节点的左子树高度减去右子树高度。（当然，右子树的高度减去左子树的高度也是可以的）平衡因子的值只能是-1、0或1。

• 今天这篇文章，作者定义的平衡因子是 bf = rh(right height) - lh(left height);即选择右子树高度减去左子树高度

AVL树的结构

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode 
{// 每个节点包含的元素和指针pair<K, V> _kv;           // 存储键值对AVLTreeNode<K, V>* _left;  // 左子树指针AVLTreeNode<K, V>* _right; // 右子树指针AVLTreeNode<K, V>* _parent; // 父节点指针int _bf;                   // 平衡因子// 构造函数AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};template<class K, class V>
class AVLTree 
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;  // 节点类型
public:// 其他操作（插入、删除、查找等）可以在此添加//	旋转/**/   旋转的详细讲解在下一篇文章，有兴趣的读者可以前往下一篇进行查看**private:Node* _root;  // 根节点指针
};

AVL树的插入

重点关注如何在插入时保持树的平衡。

插入操作概述
AVL树插入操作的过程与普通的二叉搜索树插入过程相似，唯一不同的是，AVL树在插入节点后需要检查树的平衡性，并进行必要的旋转操作来保持平衡。我们可以将插入操作分为几个步骤：

1. 二叉搜索树的插入：按照二叉搜索树的规则插入节点。
2. 更新节点高度：插入节点后，需要更新沿路径的所有节点的高度。
3. 检查平衡因子：检查每个节点的平衡因子，确定是否需要进行旋转。
4. 旋转操作：如果某个节点的平衡因子不在-1, 0, 1范围内，进行旋转以恢复平衡。

平衡因子更新终止条件

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
• 更新后parent的平衡因⼦等于1或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

平衡因子更新的3种情况。

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束

最坏更新到根停⽌

插入以及平衡因子的保持

	bool Insert(const pair<K, V>& kv) {if (_root == nullptr) {_root = new Node<K, V>(kv);return true;}Node<K, V>* parent = nullptr;Node<K, V>* cur = _root;// 寻找插入位置while (cur) {parent = cur;if (kv.first < cur->_kv.first) {cur = cur->_left;} else if (kv.first > cur->_kv.first) {cur = cur->_right;} else {return false;  // 键值已存在}}// 创建新的节点并连接到父节点cur = new Node<K, V>(kv);if (kv.first < parent->_kv.first) {parent->_left = cur;} else {parent->_right = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子并处理不平衡while (parent) {if (cur == parent->_left) {parent->_bf--;  // 左子树高，平衡因子减1} else {parent->_bf++;  // 右子树高，平衡因子加1}//平衡因子 = 右子树 - 左子树// 如果平衡因子为0，结束更新if (parent->_bf == 0) {break;}// 如果平衡因子为±1，继续向上更新if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {cur = parent;parent = parent->_parent;}// 如果平衡因子为±2，说明不平衡，进行旋转处理else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {// 旋转处理/**/   旋转的详细讲解在下一篇文章，有兴趣的读者可以前往下一篇进行查看**if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//左高（在左子树）——右旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//右高（在左子树）——左旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左高（在右子树）——左右旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右高（在左子树）——右左旋{RotateRL(parent);}else{assert(false);}break;} else {assert(false);  // 应该不会发生}}return true;}

AVL树的查找

⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{// 从根节点开始查找Node* cur = _root;// 遍历树，直到找到目标节点或到达空节点while (cur){// 如果当前节点的键小于目标键，向右子树查找if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}// 如果当前节点的键大于目标键，向左子树查找else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}// 如果当前节点的键等于目标键，返回当前节点else{return cur;}}// 如果遍历结束仍未找到目标节点，返回 nullptrreturn nullptr;
}