【数学分析笔记】第1章第1节：集合（2）

这节我自己补了一些内容，要不然听不太懂陈纪修老师讲的

1. 集合与映射

1.3 子集与真子集

假如有 $\textbf{S}$ 和 $\textbf{T}$ 两个集合，其中， $\textbf{S}$ 的所有元素都属于 $\textbf{T}$ ，则称 $\textbf{S}$ 是 $\textbf{T}$ 的子集，记为 $\textbf{S}\subset \textbf{T}$ 。
【例】 $\textbf{N}^{+}\subset \textbf{Z}\subset \textbf{Q}\subset \textbf{R}$
$\textbf{S}\subset \textbf{T}$ 的表述： $x\in\textbf{S}\Rightarrow x\in\textbf{T}$ ，其中“ $\Rightarrow$ ”表示蕴含关系。
设 $p, q$ 为两个命题，复合命题“如果 $p$ ，则 $q$ ”称为 $p$ 与 $q$ 的蕴含式，记作 $p\Rightarrow q$ 或 $p\to q$ ，并称 $p$ 是蕴含式的前件， $q$ 为蕴含式的后件， $\Rightarrow$ 或 $\to$ 称为蕴含连接词，并规定 $p\Rightarrow q$ 为假当且仅当 $p$ 为真 $q$ 为假， $p\Rightarrow q$ 的逻辑关系是 $q$ 是 $p$ 的必要条件。
若 $\textbf{S}$ 中至少有一个元素不属于 $\textbf{T}$ ，则 $\textbf{S}$ 不是 $\textbf{T}$ 的子集，记为 $\textbf{S}\not\subset\textbf{T}$
若 $\textbf{S}\subset \textbf{T}$ ，在 $\textbf{T}$ 中存在一个元素不属于 $\textbf{S}$ ，则称 $\textbf{S}$ 为 $\textbf{T}$ 的真子集，记作 $\textbf{S}\varsubsetneqq\textbf{T}$
对任意的集合 $\textbf{S}$ 有： $\textbf{S}\subset\textbf{S},\emptyset\subset\textbf{S}$

【证明】 $\emptyset\subset\textbf{S}$ ，其中 $\textbf{S}$ 为任意的集合。
【证】设命题 $q$ 为“ $\emptyset\subset\textbf{S}$ ”，假如有命题 $p$ 为“ $x\in\emptyset$ 则 $x\in\textbf{S}$ ”，先不论这个命题的真假，我们单纯从命题 $p$ 根据子集的定义能推出命题 $q$ ，即 $p\Rightarrow q$ 是真的，根据 $p\Rightarrow q$ 为假当且仅当 $p$ 为真 $q$ 为假，则逆否命题 $p$ 为假 $q$ 为真则 $p\Rightarrow q$ 为真成立，由于空集中没有任何元素，所以命题 $p$ 中 $x\in\emptyset$ 为假，即 $p$ 为假，且 $p\Rightarrow q$ 为真，则 $q$ 一定为真，即 $\emptyset\subset\textbf{S}$ 为真。
【P.s】此段证明就是陈纪修老师视频课里一语带过的内容。

【例1.1.1】 $\textbf{T}=\{a,b,c\}$ ，求 $\textbf{T}$ 的子集。
【解】 $\textbf{T}$ 的子集为 $\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\},\{a,b,c\}$ ，子集数量为 $2^{3}$ 个
其中，真子集有 $\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{a,c\}$ ，真子集个数为 $2^{3}-1$ 个。

1.4 集合相等

若 $\textbf{S}$ 与 $\textbf{T}$ 的所有元素完全相同，则称两个集合相同，记为 $\textbf{S}=\textbf{T}$
“ $\Leftrightarrow$ ”表示等价，相互蕴含，当且仅当。
$\textbf{S}=\textbf{T}\Leftrightarrow \textbf{S}\subset\textbf{T}且\textbf{T}\subset\textbf{S}$

1.5 实数的子集

实数集合 $\textbf{R}$ 的子集常见的是区间，比如开区间 $(a,b)=\{x|x\in \textbf{R},且a<x<b\}$ 。
【例】 $(a,+\infty)=\{x|x\in \textbf{R},且a<x<+\infty\}$
$[a,b],[a,b),(a,b],[a,+\infty),(-\infty,b],(-\infty,+\infty)...$ 这些区间是常见的实数集合的子集。

1.6 集合的运算

集合的运算主要有四种：并，交，差，补

1.6.1 集合的并与交

$\textbf{S}$ 与 $\textbf{T}$ 的并：指 $\textbf{S}$ 与 $\textbf{T}$ 的元素的汇集而成的集合，记为 $\textbf{S}\cup \textbf{T}$ ，则 $\textbf{S}\cup \textbf{T}=\{x|x\in\textbf{S}或x\in\textbf{T}\}$ ，如下图所示：

$\textbf{S}$ 与 $\textbf{T}$ 的交：指 $\textbf{S}$ 和 $\textbf{T}$ 的公共元素组成的集合。记作 $\textbf{S}\cap \textbf{T}$ ，即 $\textbf{S}\cap \textbf{T}=\{x|x\in\textbf{S}且x\in\textbf{T}\}$ ，如下图所示：

【例】 $\textbf{S}={a,b,c},\textbf{T}={b,c,d,e}$ ，则 $\textbf{S}\cap\textbf{T}=\{b,c\}$
并与交的运算满足交换律：
$\textbf{S}\cup\textbf{T}=\textbf{T}\cup\textbf{S}$
$\textbf{S}\cap\textbf{T}=\textbf{T}\cap\textbf{S}$
并与交的运算满足结合律：
$\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cup\textbf{D})=(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cup\textbf{D}$
$\textbf{A}\cap(\textbf{B}\cap\textbf{D})=(\textbf{A}\cap\textbf{B})\cap\textbf{D}$
并与交的运算满足分配律：
$\textbf{A}\cap(\textbf{B}\cup\textbf{D})=(\textbf{A}\cap\textbf{B})\cup(\textbf{A}\cap\textbf{D})$
$\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D})=(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
【证明】 $\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D})=(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
【证】第一步：假设 $x\in\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D})$ ，要证 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
则 $x\in\textbf{A}$ 或者 $x\in\textbf{B}且x\in\textbf{D}$ ，
即 $x\in\textbf{A}$ 或者 $x\in\textbf{B}$ ，亦即 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})$
同理 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
所以 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})$ 且 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
即 $x\in((\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D}))$
又因为 $x\in\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D})$
所以 $(\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D}))\subset((\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D}))$
第二步：
设 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})$ ，要证 $x\in\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D})$
则 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})$ 且 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
若 $x\in\textbf{A}$ ，则 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})$ 且 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{D})$ 成立
若 $x\notin\textbf{A}$ ，则 $x\in\textbf{B}$ 或 $x\in\textbf{D}$ ，此时 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})$ 且 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{D})$ 也成立
即 $x\in\textbf{A}$ 或 $x\in(\textbf{B}\cup\textbf{D})$
亦即 $x\in(\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D}))$
又因为 $x\in(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})$
所以 $(\textbf{A}\cup\textbf{B})\cap(\textbf{A}\cup\textbf{D})\subset(\textbf{A}\cup(\textbf{B}\cap\textbf{D}))$
【注】这里用到的是子集的定义： $\textbf{S}\subset \textbf{T}$ 的表述： $x\in\textbf{S}\Rightarrow x\in\textbf{T}$ ，其中“ $\Rightarrow$ ”表示蕴含关系。

1.6.2 集合的差与补

$\textbf{S}$ 与 $\textbf{T}$ 的差：是指属于 $\textbf{S}$ 但不属于 $\textbf{T}$ 的集合，记为 $\textbf{S}\setminus \textbf{T}$ 或 $\textbf{S}- \textbf{T}$ ， $\textbf{S}\setminus \textbf{T}\{x|x\in\textbf{S}且x\notin\textbf{T}\}$ ，如下图所示：

【例】 ${a,b,c\}-\{b,c,d,e\}=\{a\}$
一个集合的补：设在 $\textbf{X}$ 集合中讨论问题， $\textbf{S}\subset\textbf{X}$ ，则 $\textbf{S}$ 关于 $\textbf{X}$ 的补集 $\textbf{S}_{\textbf{X}}^{c}\{x|x\in\textbf{X}且x\notin\textbf{S}\}=\textbf{X}\setminus\textbf{S}$ ，如果在不会产生混淆的前提下， $\textbf{X}$ 可以不写，比如， $\textbf{S}=(a,b)$ ，则 $\textbf{S}^{c}$ 可以理解为 $\textbf{S}$ 在实数集合 $\textbf{R}$ 上的补集，即 $\textbf{S}^{c}=(-\infty,a]\cup[b,+\infty)$