数学分析原理答案——第二章 习题26

【第二章 习题22~26】总结

【第二章 习题26】

设$X$是这样的一个度量空间，其中每个无限子集有极限点。证明$X$是紧的。

【证明】

根据习题24、23可知，$X$有可数集，因此$X$的每个开覆盖必有可数子覆盖 { G n } \left\{ G_{n} \right\} {Gn​}，$n=1,2,3,\dots \dots$。如果没有 { G n } \left\{ G_{n} \right\} {Gn​}的有限子组能够覆盖$X$，那么$G_1\cup \dots \dots \cup G_n$的余集$F_n$不空，但$\cap F_n$是空集。

循环步骤：

首先令

$$i:=1$$

$$n_i:=1$$

任取$x_i\in F_{n_i}$并且$x_i\notin F_{m_i}$（其中$m_i>n_i$），这种选取是能够做到的，因为$F_n$不空；另外，若$m_i$无论如何取值，都有$F_{n_i}=F_{m_i}$，那么$\cap F_n=F_{n_i}\ne \varnothing$，矛盾。

然后执行赋值

$$i:=i+1$$

$$n_i:=m_i$$

从$i=1$，循环执行下去，这样就找到一个无限子集$x_1,x_2,\dots \dots$，根据题设每个无限子集有极限点，设它的极限点为$x_{\ast }$。

1. $x_{\ast }\in G_{m_i}$（$x_{\ast }=x_i$）

若$x_{\ast }$与序列中的每个$x_i$（$\in F_{n_i}$）都不同，由于$x_{\ast }$也是无限子集$x_i,x_{i+1},x_{i+2},\dots \dots$的极限点，而余集$F_{n_i}$为闭集、 { F n } \left\{ F_{n} \right\} {Fn​}为嵌套序列，所以

$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}\left(x_{\ast }\in F_n\right)$$

也就是

$$x_{\ast }\in \cap F_n$$

这与$\cap F_n$是空集矛盾，所以$x_{\ast }$与无限子集中某个$x_i$相同。由于$x_i\notin F_{m_i}$，所以$x_i\in G_{m_i}$

，也就是$x_{\ast }\in G_{m_i}$。

2. $x_{\ast }\notin G_{m_i}$

若$x_{\ast }\in G_{m_i}$，由于$x_{\ast }$也是无限子集$x_{i+1},x_{i+2},\dots \dots$的极限点，由于

$$\forall n>i\left(x_n\in F_{m_i}\right)$$

即，无限子集$x_{i+1},x_{i+2},\dots \dots$中的点都在$G_{m_i}$外。而$G_i$是开集，$x_{\ast }$必有一个邻域在$G_{m_i}$中，所以$x_{\ast }$无法成为无限子集的极限点，矛盾。

综合1、2的矛盾，可知假设不成立，也就是说$X$是紧的。