【第二章 习题22~26】总结
【第二章 习题26】
设 X X X是这样的一个度量空间,其中每个无限子集有极限点。证明 X X X是紧的。
【证明】
根据习题24、23可知, X X X有可数集,因此 X X X的每个开覆盖必有可数子覆盖 { G n } \left\{ G_{n} \right\} {Gn}, n = 1 , 2 , 3 , … … n = 1,2,3,\ldots\ldots n=1,2,3,……。如果没有 { G n } \left\{ G_{n} \right\} {Gn}的有限子组能够覆盖 X X X,那么 G 1 ∪ … … ∪ G n G_{1} \cup \ldots\ldots \cup G_{n} G1∪……∪Gn的余集 F n F_{n} Fn不空,但 ∩ F n \cap F_{n} ∩Fn是空集。
循环步骤:
首先令
i ≔ 1 i ≔ 1 i:=1
n i ≔ 1 n_{i} ≔ 1 ni:=1
任取 x i ∈ F n i x_{i} \in F_{n_{i}} xi∈Fni并且 x i ∉ F m i x_{i} \notin F_{m_{i}} xi∈/Fmi(其中 m i > n i m_{i} > n_{i} mi>ni),这种选取是能够做到的,因为 F n F_{n} Fn不空;另外,若 m i m_{i} mi无论如何取值,都有 F n i = F m i F_{n_{i}} = F_{m_{i}} Fni=Fmi,那么 ∩ F n = F n i ≠ ∅ \cap F_{n} = F_{n_{i}} \neq \varnothing ∩Fn=Fni=∅,矛盾。
然后执行赋值
i ≔ i + 1 i ≔ i + 1 i:=i+1
n i ≔ m i n_{i} ≔ m_{i} ni:=mi
从 i = 1 i = 1 i=1,循环执行下去,这样就找到一个无限子集 x 1 , x 2 , … … x_{1},x_{2},\ldots\ldots x1,x2,……,根据题设每个无限子集有极限点,设它的极限点为 x ∗ x_{*} x∗。
- x ∗ ∈ G m i x_{*} \in G_{m_{i}} x∗∈Gmi( x ∗ = x i x_{*} = x_{i} x∗=xi)
若 x ∗ x_{*} x∗与序列中的每个 x i x_{i} xi( ∈ F n i \in F_{n_{i}} ∈Fni)都不同,由于 x ∗ x_{*} x∗也是无限子集 x i , x i + 1 , x i + 2 , … … x_{i},x_{i + 1},x_{i + 2},\ldots\ldots xi,xi+1,xi+2,……的极限点,而余集 F n i F_{n_{i}} Fni为闭集、 { F n } \left\{ F_{n} \right\} {Fn}为嵌套序列,所以
∀ n ∈ N + ( x ∗ ∈ F n ) \forall n \in \mathbb{N}^{+}\left( x_{*} \in F_{n} \right) ∀n∈N+(x∗∈Fn)
也就是
x ∗ ∈ ∩ F n x_{*} \in \ \cap F_{n} x∗∈ ∩Fn
这与 ∩ F n \cap F_{n} ∩Fn是空集矛盾,所以 x ∗ x_{*} x∗与无限子集中某个 x i x_{i} xi相同。由于 x i ∉ F m i x_{i} \notin F_{m_{i}} xi∈/Fmi,所以 x i ∈ G m i x_{i} \in G_{m_{i}} xi∈Gmi
,也就是 x ∗ ∈ G m i x_{*} \in G_{m_{i}} x∗∈Gmi。
- x ∗ ∉ G m i x_{*} \notin G_{m_{i}} x∗∈/Gmi
若 x ∗ ∈ G m i x_{*} \in G_{m_{i}} x∗∈Gmi,由于 x ∗ x_{*} x∗也是无限子集 x i + 1 , x i + 2 , … … x_{i + 1},x_{i + 2},\ldots\ldots xi+1,xi+2,……的极限点,由于
∀ n > i ( x n ∈ F m i ) \forall n > i\left( x_{n} \in F_{m_{i}} \right) ∀n>i(xn∈Fmi)
即,无限子集 x i + 1 , x i + 2 , … … x_{i + 1},x_{i + 2},\ldots\ldots xi+1,xi+2,……中的点都在 G m i G_{m_{i}} Gmi外。而 G i G_{i} Gi是开集, x ∗ x_{*} x∗必有一个邻域在 G m i G_{m_{i}} Gmi中,所以 x ∗ x_{*} x∗无法成为无限子集的极限点,矛盾。
综合1、2的矛盾,可知假设不成立,也就是说 X X X是紧的。