算法笔记|Day32动态规划V

※※※※※完全背包问题理论

基本题目描述

有n件物品和一个最多能背重量为w的背包，第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品可以无限次使用，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

题目分析

采用一维数组（滚动数组）

1.dp数组含义：j表示背包容量，dp[j]表示容量为j的背包最大的价值总和；
2.递推公式：dp[j]=Math.max(dp[j],[j-weight[i]]+value[i])(j>=weight[i])（如果能装下这个物品，若不放物品i：dp[j]不变化；若放物品i：由dp[j-weight[i]]推出，dp[j-weight[i]]为背包容量为j-weight[i]的时候的最大价值，那么dp[j-weight[i]]+value[i]，就是背包放物品i得到的最大价值）；
3.初始化：dp[0]=0（背包容量j为0，背包价值总和一定为0）；
4.遍历顺序：基本的完全背包题目先遍历物品或背包均可以（应用类题目具体顺序与题意有关），背包容量一定是要正序遍历。

☆☆☆☆☆leetcode 518.零钱兑换II

题目链接：leetcode 518.零钱兑换II

题目分析

1.dp数组含义：dp[j]表示凑成总金额为j的货币组合数；
2.递推公式：dp[j]+=dp[j-coins[i]]
（以dp[j]其中j为5举例，要想凑成总金额为5的货币，要考虑以下情况：
已经有一个1（coins[i]）的话，有dp[4]种方法凑成总金额为5的货币
已经有一个2（coins[i]）的话，有dp[3]种方法凑成总金额为5的货币
已经有一个3（coins[i]）的话，有dp[2]种方法凑成总金额为5的货币
已经有一个4（coins[i]）的话，有dp[1]种方法凑成总金额为5的货币
已经有一个5（coins[i]）的话，有dp[0]种方法凑成总金额为5的货币
那么凑整dp[5]的总方法数也就是把所有的dp[j - coins[i]]累加起来）；
3.初始化：dp[0]=1；（考虑把容量为0也当做一种方法，这样可以递推得到其他结果。若dp[0]是0，递推结果将都是0）
4.遍历顺序：不涉及顺序（组合问题），先遍历货币嵌套遍历背包，背包一定是要正序遍历。

代码

class Solution {public int change(int amount, int[] coins) {int dp[]=new int[amount+1];dp[0]=1;for(int i=0;i<coins.length;i++){for(int j=coins[i];j<=amount;j++)dp[j]+=dp[j-coins[i]];}return dp[amount];}
}

☆☆☆☆☆leetcode 377. 组合总和Ⅳ

题目链接：leetcode 377. 组合总和Ⅳ

题目分析

1.dp数组含义：dp[j]表示凑成目标正整数为i的排列个数；
2.递推公式：dp[j]+=dp[j-nums[i]]
（以dp[j]其中j为5举例，要想凑成总和为5，要考虑以下情况：
已经有一个1（nums[i]）的话，有dp[4]种方法凑成总和为5
已经有一个2（nums[i]）的话，有dp[3]种方法凑成总和为5
已经有一个3（nums[i]）的话，有dp[2]种方法凑成总和为5
已经有一个4（nums[i]）的话，有dp[1]种方法凑成总和为5
已经有一个5（nums[i]）的话，有dp[0]种方法凑成总和为5
那么凑整dp[5]的总方法数也就是把所有的dp[j - nums[i]]累加起来）；
3.初始化：dp[0]=1；（考虑把容量为0也当做一种方法，这样可以递推得到其他结果。若dp[0]是0，递推结果将都是0）
4.遍历顺序：涉及顺序（排列问题），先遍历背包嵌套遍历货币，背包一定是要正序遍历。

代码

class Solution {public int combinationSum4(int[] nums, int target) {int dp[]=new int[target+1];dp[0]=1;for(int j=1;j<=target;j++){for(int i=0;i<nums.length;i++){if(j>=nums[i])dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}return dp[target];}
}

☆☆☆☆☆KamaCoder 57. 爬楼梯（待补充）

题目链接：KamaCoder 57. 爬楼梯

题目分析

代码