3. 函数极限与连续函数
3.2 连续函数
【例3,2,4】证明 f ( x ) = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) f(x)=a^{x}(a>0,a\ne 1) f(x)=ax(a>0,a=1)在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续。
【证】 ∀ x 0 ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \forall x_{0}\in(-\infty,+\infty) ∀x0∈(−∞,+∞)
lim x → x 0 a x = A ⇔ lim x → x 0 a x − x 0 = 1 ⇔ lim t → 0 a t \lim\limits_{x\to x_{0}}a^{x}=A\Leftrightarrow\lim\limits_{x\to x_{0}}a^{x-x_{0}}=1\Leftrightarrow\lim\limits_{t\to 0}a^{t} x→x0limax=A⇔x→x0limax−x0=1⇔t→0limat
若 t → 0 + t\to 0^{+} t→0+:
(1)若 a > 1 a>1 a>1,
由于 [ 1 t ] ≤ 1 t < [ 1 t ] + 1 [\frac{1}{t}]\le \frac{1}{t}<[\frac{1}{t}]+1 [t1]≤t1<[t1]+1,所以 1 [ 1 t ] + 1 < 1 t ≤ 1 [ 1 t ] \frac{1}{[\frac{1}{t}]+1}<\frac{1}{t}\le\frac{1}{[\frac{1}{t}]} [t1]+11<t1≤[t1]1
a t = 1 < a 1 1 t ≤ a 1 [ 1 t ] a^{t}=1<a^{\frac{1}{\frac{1}{t}}}\le a^{\frac{1}{[\frac{1}{t}]}} at=1<at11≤a[t1]1
其中 [ 1 t ] [\frac{1}{t}] [t1]相当于 n n n,记为 n n n,不等式右侧是数列极限
lim n → ∞ a 1 n = lim n → ∞ a n = 1 \lim\limits_{n\to\infty}a^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1 n→∞liman1=n→∞limna=1,又 lim n → ∞ 1 = 1 \lim\limits_{n\to\infty}1=1 n→∞lim1=1
由极限的夹逼性可知,当 a > 1 a>1 a>1时, lim t → 0 + a t = 1 \lim\limits_{t\to 0^{+}}a^{t}=1 t→0+limat=1
(2)若 0 < a < 1 0<a<1 0<a<1, 1 a > 1 \frac{1}{a}>1 a1>1
lim t → 0 + a t = lim t → 0 + 1 ( 1 a ) t \lim\limits_{t\to 0^{+}}a^{t}=\lim\limits_{t\to 0^{+}}\frac{1}{(\frac{1}{a})^{t}} t→0+limat=t→0+lim(a1)t1
若 t → 0 − t\to 0^{-} t→0−:
令 u = − t u=-t u=−t,则 u → 0 + u\to 0^{+} u→0+
lim t → 0 − a t = lim u → 0 + a − u = lim u → 0 + 1 a u = 1 \lim\limits_{t\to 0^{-}}a^{t}=\lim\limits_{u\to 0^{+}}a^{-u}=\lim\limits_{u\to 0^{+}}\frac{1}{a^{u}}=1 t→0−limat=u→0+lima−u=u→0+limau1=1
3.2.6 连续函数的四则运算
lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) , lim x → x 0 g ( x ) = g ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}),\lim\limits_{x\to x_{0}}g(x)=g(x_{0}) x→x0limf(x)=f(x0),x→x0limg(x)=g(x0)(即 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)在 x 0 x_{0} x0点处连续),有:
(1) lim x → x 0 ( α f ( x ) + β g ( x ) ) = α f ( x 0 ) + β g ( x 0 ) \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha f\left(x_{0}\right)+\beta g\left(x_{0}\right) x→x0lim(αf(x)+βg(x))=αf(x0)+βg(x0)( α , β \alpha,\beta α,β是常数);
(2) lim x → x 0 ( f ( x ) g ( x ) ) = f ( x 0 ) g ( x 0 ) \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}}(f(x) g(x))=f\left(x_{0}\right) g\left(x_{0}\right) x→x0lim(f(x)g(x))=f(x0)g(x0);
(3) lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = f ( x 0 ) g ( x 0 ) ( g ( x 0 ) ≠ 0 ) \lim\limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f\left(x_{0}\right)}{g\left(x_{0}\right)} \quad\left(g\left(x_{0}\right) \neq 0\right) x→x0limg(x)f(x)=g(x0)f(x0)(g(x0)=0)
【注】 f ( x ) f(x) f(x)与 g ( x ) g(x) g(x)必须在共同的区间上。
【例】 lim x → 2 x 2 + sin x 3 x + 2 x = 4 + sin 2 9 + 4 = 4 + sin 2 13 \lim\limits_{x\to 2}\frac{x^{2}+\sin x}{3^{x}+2x}=\frac{4+\sin 2}{9+4}=\frac{4+\sin 2}{13} x→2lim3x+2xx2+sinx=9+44+sin2=134+sin2
【例】 f ( x ) = c , g ( x ) = x f(x)=c,g(x)=x f(x)=c,g(x)=x, c x 2 , c x 3 , . . . , c x n cx^{2},cx^{3},...,cx^{n} cx2,cx3,...,cxn是连续函数。
【例】多项式 P n ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 0 P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0} Pn(x)=anxn+an−1xn−1+...+a0在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续
【例】有理函数 Q n ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 + ⋯ + b 1 x + b 0 Q_{n}(x)=\frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}} Qn(x)=bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(除去使得分母为0的点)在它的定义域上连续。
【例3.2.6】 sin x , cos x \sin x,\cos x sinx,cosx在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上连续, tan x = sin x cos x \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} tanx=cosxsinx在 { x ∣ x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } \{x|x\ne k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\} {x∣x=kπ+2π,k∈Z},即把分母为0的点抠掉。
cot x = cos x sin x \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} cotx=sinxcosx在 { x ∣ x ≠ k π , k ∈ Z } \{x|x\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}\} {x∣x=kπ,k∈Z},即把分母为0的点抠掉。
3.2.7 不连续点(间断点)的类型
连续的定义 lim x → x 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}) x→x0limf(x)=f(x0),
(1) f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0处有定义;
(2) lim x → x 0 + f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}) x→x0+limf(x)=f(x0);
(3) lim x → x 0 − f ( x ) = f ( x 0 ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}) x→x0−limf(x)=f(x0).
三者缺一不可,否则,函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x_{0} x0点不连续,亦称 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 x_{0} x0间断,这时 x 0 x_{0} x0是函数 f ( x ) f(x) f(x)不连续点,亦称间断点。
- 第一类不连续点(间断点): lim x → x 0 + f ( x ) ≠ lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\ne \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x) x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x)
【例】 f ( x ) = sgn x = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 f(x)=\text{sgn}x=\left\{\begin{array}{l} -1 &,x<0\\ 0 &,x=0\\ 1&,x>0 \end{array}\right. f(x)=sgnx=⎩ ⎨ ⎧−101,x<0,x=0,x>0
lim x → x 0 + f ( x ) = 1 ≠ lim x → x 0 − f ( x ) = − 1 \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=1\ne \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=-1 x→x0+limf(x)=1=x→x0−limf(x)=−1
则 f ( x ) = sgn x f(x)=\text{sgn}x f(x)=sgnx在 x = 0 x=0 x=0处不连续。
将第一类不连续点(间断点)称为跳跃间断点。 - 第二类不连续点(间断点): lim x → x 0 + f ( x ) , lim x → x 0 − f ( x ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x),\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x) x→x0+limf(x),x→x0−limf(x)至少有一个不存在
【例】 f ( x ) = sin 1 x f(x)=\sin \frac{1}{x} f(x)=sinx1
lim x → 0 + f ( x ) , lim x → 0 − f ( x ) \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x),\lim\limits_{x\to0^{-}}f(x) x→0+limf(x),x→0−limf(x)都不收敛
所以 x = 0 x=0 x=0是它的第二类不连续点。
【例】 f ( x ) = e 1 x f(x)=e^{\frac{1}{x}} f(x)=ex1
lim x → 0 + f ( x ) = lim x → 0 + e 1 x = + ∞ ( e + ∞ ) \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty(e^{+\infty}) x→0+limf(x)=x→0+limex1=+∞(e+∞)
lim x → 0 − f ( x ) = lim x → 0 − e 1 x = 0 ( e − ∞ ) \lim\limits_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0(e^{-\infty}) x→0−limf(x)=x→0−limex1=0(e−∞)
所以 x = 0 x=0 x=0是第二类不连续点,又叫无穷间断点。 - 第三类不连续点(陈纪修老师教材将可去间断点划分到第三类不连续点):
lim x → x 0 + f ( x ) = lim x → x 0 − f ( x ) { ≠ f ( x 0 ) 或 f ( x ) 在 x = x 0 处没有定义 \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\left\{\begin{array}{l} \ne f(x_{0}) \\ 或f(x)在x=x_{0}处没有定义 \end{array}\right. x→x0+limf(x)=x→x0−limf(x){=f(x0)或f(x)在x=x0处没有定义
【例】 f ( x ) = x sin 1 x f(x)=x\sin \frac{1}{x} f(x)=xsinx1在 x = 0 x=0 x=0处有极限,但是它在 x = 0 x=0 x=0处无定义, lim x → 0 x sin 1 x = 0 \lim\limits_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0 x→0limxsinx1=0,它在 x = 0 x=0 x=0点不连续,重新定义新函数 f ~ ( x ) = { f ( x ) , x ≠ 0 0 , x = 0 \widetilde{f}(x)=\left\{\begin{array}{l} f(x)&,x\ne 0 \\ 0&,x=0 \end{array}\right. f (x)={f(x)0,x=0,x=0,此时 f ~ ( x ) \widetilde{f}(x) f (x)在 x = 0 x=0 x=0处连续。
第三类不连续点称为可去间断点(可去不连续点)。
【例】【迪利克雷函数】 D ( x ) = { 1 , x 是有理数 0 , x 是无理数 D(x)=\left\{\begin{array}{l} 1&,x是有理数 \\ 0&,x是无理数 \end{array}\right. D(x)={10,x是有理数,x是无理数
(由无限个点组成,红色并非直线)
∀ x 0 ∈ ( − ∞ , + ∞ ) \forall x_{0}\in(-\infty,+\infty) ∀x0∈(−∞,+∞)
lim x → x 0 + D ( x ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}D(x) x→x0+limD(x),取 x n ′ x_{n}' xn′是有理数, x n > x 0 , x n → x 0 x_{n}>x_{0},x_{n}\to x_{0} xn>x0,xn→x0, lim n → ∞ D ( x n ′ ) = 1 \lim\limits_{n\to\infty}D(x_{n}')=1 n→∞limD(xn′)=1,取 x n ′ ′ x_{n}'' xn′′是无理数, x n ′ ′ > x 0 , x n ′ ′ → x 0 x_{n}''>x_{0},x_{n}''\to x_{0} xn′′>x0,xn′′→x0, lim n → ∞ D ( x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}D(x_{n}'')=0 n→∞limD(xn′′)=0
有两个函数子列极限不相等,根据Heine(海涅)定理, lim x → x 0 + D ( x ) \lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}D(x) x→x0+limD(x)不存在