（自用复习题）常微分方程07

题目来源

常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社

书中习题2.4

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求解下列方程

(2)

$$y^{\prime 3}-x^3(1-y^{\prime })=0$$

记 $y^{\prime }=tx$ ，则方程化为

$$(t^3-1+tx)x^3=0$$

所以 $x=\frac{1}{t}-t^2$ ，$y^{\prime }=1-t^3$

那么

$$\mathrm{d}y=\left[(1-t^3)\left(-\frac{1}{t^2}-2t\right)\right]\mathrm{d}t$$

积分得

$$y=-\frac{1}{2}{t}^2+\frac{2}{5}{t}^5+\frac{1}{t}+c$$

(4)

$$y(1+y^{\prime 2})=2a,a为常数$$

令 $y^{\prime }=\tan t$ ，则原方程化为

$$y=2a{\cos }^{2}t$$

那么

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\tan t}=-4a{\cos }^{2}t\mathrm{d}t$$

积分得

$$x=-a(2t+\sin 2t)+c$$

(5)

$$x^2+y^{\prime 2}=1$$

令 $y^{\prime }=\cos t$ ，则方程可化为 $x=\pm \sin t$

所以 $\mathrm{d}y=\cos t\mathrm{d}x=\pm {\cos }^{2}t\mathrm{d}t$

积分得

$$y=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t+c$$

(6)

$$y^2(y^{\prime }-1)=(2-y^{\prime }{)}^2$$

令 $2-y^{\prime }=ty$ ，则原方程化为

$$y^2(1-yt)=y^2{t}^2$$

解得 $y=\frac{1}{t}-t$ ，$y^{\prime }=1+t^2$

$$\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{1+t^2}=-\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t$$

积分得

$$x=\frac{1}{t}+c$$