数据结构之树与二叉树

1.树和二叉树的定义

1.1树的定义

树是n（n≥0）个结点的有限集，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树T：

• 有且仅有一个称之为根的结点
• 除根结点以外的其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T₁，T₂，…，Tm，其中每一个结点本身又是一棵树，并且成为根的子树

图 1(A) 是使用树结构存储的集合{A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M}的示意图。对于数据A来说，和数据B、C、D有关系；对于数据B来说，和E、F有关系。这就是“一对多”的关系。将具有“一对多”关系的集合中的数据元素按照图 1（A）的形式进行存储，整个存储形状在逻辑结构上看，类似于实际生活中倒着的树（图 1（B）），所以称这种存储结构为“树型”存储结构

1.2树的基本术语

• 结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素和若干指向其子树的分支，如图1（A）中的A、B、C、D等
• 结点的度：结点拥有的子树数成为结点的度。例如，A的度为3，C的度为1，F的度为0
• 树的度：树的度是树内各结点度的最大值。图1（A）所示的树的度为3
• 叶子：度为0的结点称为叶子或终端结点。结点K、L、F、G、M、I、J都是树的叶子。叶子结点无孩子
• 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点。
• 双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。例如，B的双亲为A，B的孩子有E和F
• 兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。例如，H、I和J互为兄弟
• 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。例如，M的祖先为A、D和H
• 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。如B的子孙为E、K、L和F
• 层次：结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。
• 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟。例如，结点G与E、F、H、I、J互为堂兄弟
• 树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。图1（A）所示的树的深度为4
• 有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子
• 森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。把树的根节点删除，它的子树们就构成了森林

1.3线性结构和树结构

线性结构	树结构
第一个数据元素无前驱	根结点无双亲
最后一个数据元素无后继	叶子结点无孩子
其他数据元素一个前驱一个后继，一对一	其他结点(中间结点)一个双亲多个孩子，一对多

1.4二叉树的定义

二叉树是n（n≥0）个结点所构成的集合，它或为空树（n=0）；或为非空树，对于非空树：

• 有且仅有一个称之为根的结点
• 除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集T₁和T₂，分别称为T的左子树和右子树，且T₁和T₂本身又都是二叉树

二叉树与树一样具有递归性质，二叉树与树的区别主要有以下两点

• 二叉树每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）
• 二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒

二叉树的递归定义表明二叉树或为空，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不想交的二叉树组成。由于这两棵子树也是二叉树，则由二叉树的定义，它们也可以是空树。由此，二叉树可以有5种基本形态，如下图所示:

树的基本术语是都适用于二叉树的

2.二叉树的性质和存储结构

2.1二叉树的性质

二叉树具有以下几个性质：

二叉树还有两种特殊的形态：满二叉树和完全二叉树

• 二叉树中除了叶子结点，每个结点的度都为2，则此二叉树称为满二叉树。

• 二叉树中除去最后一层节点为满二叉树，且最后一层的结点依次从左到右分布，则此二叉树被称为完全二叉树。

• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

2.2二叉树的存储结构

• 二叉树的存储结构有两种，分别为顺序存储和链式存储

2.2.1顺序存储

• 二叉树的顺序存储，指的是使用顺序表（数组）存储二叉树。需要注意的是，顺序存储只适用于完全二叉树。换句话说，只有完全二叉树才可以使用顺序表存储。因此，如果我们想顺序存储普通二叉树，需要提前将普通二叉树转化为完全二叉树
• 普通二叉树转完全二叉树的方法很简单，只需给二叉树额外添加一些节点，将其"拼凑"成完全二叉树即可。如下图所示，左侧是普通二叉树，右侧是转化后的完全（满）二叉树

解决了二叉树的转化问题，接下来我们来学习如何顺序存储完全（满）二叉树。完全二叉树的顺序存储，仅需从根节点开始，按照层次依次将树中节点存储到数组即可

例如，存储上图所示的完全二叉树，其存储状态如下图所示：

由此，我们就实现了完全二叉树的顺序存储

2.2.2链式存储

其实二叉树并不合适用数组存储，因为并不是每个二叉树都是完全二叉树，普通二叉树使用顺序表存储会存在空间浪费的现象。接下来介绍二叉树的链式存储结构

上图为一颗普通的二叉树，若将其采用链式存储，则只需从树的根节点开始，将各个节点及其左右孩子使用链表存储即可。因此，其对应的链式存储结构如下图所示：

由上图可知，采用链式存储二叉树时，其节点结构由3部分构成：

• 指向左孩子节点的指针（Lchild）
• 节点存储的数据（data）
• 指向右孩子节点的指针（Rchild）

其实，二叉树的链式存储结构远不止上图所示的这一种。例如，在某些实际场景中，可能会做 “查找某节点的父节点” 的操作，这时可以在节点结构中再添加一个指针域，用于各个节点指向其父亲节点，如下图 所示：

2.3遍历二叉树

• 在二叉树的一些应用中，常常要求在树中查找具有某种特征的结点，或者是对树中的全部结点逐一处理，这就提出了一个遍历二叉树的问题。遍历二叉树是指按某一条搜索路径巡访树中每个结点，使得每个结点均被访问一次，而且仅被访问一次。遍历二叉树是二叉树最基本的操作，也是二叉树其他各种操作的基础，遍历的实质是对二叉树进行线性化的过程，即遍历的结果是将非线性结构的树中结点排成一个线性序列。由于二叉树的每个结点都有可能有两棵子树，因而需要寻找一种规律，以便使二叉树上的结点能排列在一个线性队列上，从而便于遍历
• 二叉树是有３个基本单元组成：根节点、左子树、右子树。因此，若能依次遍历这三部分，便是遍历了整个二叉树。假如Ｌ、Ｄ、Ｒ分别表示遍历左子树、访问根节点、遍历右子树，则可有DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD这6种遍历二叉树的方案。若限定先左后右，则只有前3种情况，分别称之为先（根）序遍历、中（根）序遍历和后（根）序遍历

基于二叉树的递归定义，可得下述遍历二叉树的递归算法定义。

先序遍历二叉树的操作定义如下：
　　若二叉树为空，则空操作；否则
　　（１）访问根节点；
　　（２）先序遍历左子树；
　　（３）先序遍历右子树。

中序遍历二叉树操作定义如下：
　　若二叉树为空，则空操作；否则
　　（１）中序遍历左子树；
　　（２）访问根节点；
　　（３）中序遍历右子树。

后序遍历二叉树的操作定义如下：
　　若二叉树为空，则空操作；否则
　　（１）后序遍历左子树；
　　（２）后序遍历右子树；
　　（３）访问根节点。

例如，上图的二叉树表示的为表达式：a+b*（c-d）-e/f

• 先序遍历二叉树，可得到二叉树的先序序列为：-+a*b-cd/ef
• 中序遍历二叉树，可得此二叉树的中序序列为：a+b*c-d-e/f
• 后序遍历二叉树，可得此二叉树的后序序列为：abcd-*+ef/-

2.4大作业：二叉树的基本操作

构建二叉树（遍历列表按照先序顺序插入值）

测试案例的输入列表为［‘A’,‘B’,‘C’,’#’,’#’,‘D’,‘E’,’#’,‘G’,’#’,’#’,‘F’,’#’,’#’,’#’］,输出的遍历结果见下图

二叉树的生成，需要用以上输入列表的数值哦；对于非递归遍历，需要用到栈。

2.4.1代码思路（仅供参考，思路不限）：

二叉树的生成：

• 构建结点类，构建二叉树类
• 输入一个列表，然后从列表中取数，按照先序顺序进行递归插入数值，即先创建根结点，再左子树，再右子树
• 首先输入一个字符，判断其是否为＃，不是＃的即创建根结点，该结点的数值域为该字符，继续递归生成左子树，输入第二个字符，判断其是否为＃，不是＃的即生成结点，是＃的将返回上一层递归，如此判断递归生成二叉树

二叉树的遍历：

• 按照先序、中序、后序遍历的顺序输出字符即可
• 非递归的遍历是需要借助栈的
• 拿中序遍历的非递归算法思想来举例：定义一个空栈，从根结点开始访问，若当前节点非空，则将该节点压栈并访问其左子树，循环执行，直至当前节点为空时，取栈顶元素访问并弹栈，然后访问其右子树，再重复如上操作，直至遍历节点的指针为空并且栈也为空

2.4.2代码实践（递归写法）

class Tree:def __init__(self, item):self.item = itemself.l = Noneself.r = Nonedef llink(self, other):  #左连接子节点self.l = otherdef rlink(self, other): # 右连接子节点self.r = otherdef get_depth(self): # 获取深度（递归）if self.l == None:l_depth = 0else:l_depth = self.l.get_depth()if self.r == None:r_depth = 0else:r_depth = self.r.get_depth()return max(l_depth, r_depth) + 1def get_len(self):  # 获取节点数（递归）if self.l == None:l_len = 0else:l_len = self.l.get_len()if self.r ==None:r_len = 0else:r_len = self.r.get_len()return l_len + r_len + 1def show_first(self):  # 先序遍历（递归）print(self.item, end=" ")if self.l != None:self.l.show_first()if self.r != None:self.r.show_first()def show_mid(self):  # 中序遍历（递归）if self.l != None:self.l.show_mid()print(self.item, end=" ")if self.r != None:self.r.show_mid()def show_last(self):  # 后序遍历（递归）if self.l != None:self.l.show_last()if self.r != None:self.r.show_last()print(self.item, end=" ")def create(x):try:tmp = next(x)if tmp == "#":returnroot = Tree(tmp)root.llink(create(x))root.rlink(create(x))return rootexcept:passtree_list = ['A', 'B', 'C', '#', '#', 'D', 'E', '#', 'G', '#', '#', 'F', '#', '#', '#']
it = iter(tree_list)
root = create(it)# 先序遍历
print(root.show_first())# 中序遍历
print(root.show_mid())# 后序遍历
print(root.show_last())