MATLAB图像处理：小波变换原理与应用详解

小波变换是一种多分辨率分析工具，能够同时在时域和频域提供信号的局部特征信息，广泛应用于图像去噪、压缩、增强和特征提取等领域。本文将系统解析 一维及二维小波变换的数学原理，结合MATLAB代码实战。

目录

1. 小波变换基础

1.1 小波变换 vs. 傅里叶变换

1.2 小波函数与尺度函数

1.3 二维小波变换流程（图像处理）

2. MATLAB小波变换实现

2.1 单层小波分解与重构

3. 核心应用场景与代码实战

3.1 图像去噪（阈值法）

3.2 图像压缩（系数截断）

4. 小波基选择与参数优化

4.1 常用小波基特性对比

4.2 参数选择原则

5. 常见问题与解决方案

Q1：小波分解后图像出现伪影

Q2：小波去噪导致细节丢失

Q3：如何选择最优小波基？ 

总结

---

1. 小波变换基础

1.1 小波变换 vs. 傅里叶变换

• 傅里叶变换：全局频率分析，无法定位时间/空间信息。
• 小波变换：通过母小波的缩放和平移，实现局部时频分析。
• 核心优势：
  • 多分辨率特性：可聚焦到信号的任意细节
  • 稀疏表示：用少量系数描述信号关键特征

 

1.2 小波函数与尺度函数

• 母小波（Wavelet）：满足零均值条件的振荡函数（如Haar、Daubechies、Symlet等）。
• 尺度函数（Scaling）：用于生成信号的低频逼近分量。

1.3 二维小波变换流程（图像处理）

1. 分解（Decomposition）：对图像的行和列分别进行高通和低通滤波，生成四个子图：
   • LL：低频逼近（Approximation）
   • LH：水平细节（Horizontal Detail）
   • HL：垂直细节（Vertical Detail）
   • HH：对角线细节（Diagonal Detail）
2. 重构（Reconstruction）：通过逆变换恢复原始图像。

2. MATLAB小波变换实现

2.1 单层小波分解与重构

% 读取图像并转为灰度
img = im2double(rgb2gray(imread('刘亦菲.jpg')));% 单层小波分解（使用Daubechies 4小波）
[cA, cH, cV, cD] = dwt2(img, 'db4');% 显示分解结果
figure;
subplot(221), imshow(cA, []), title('低频逼近LL');
subplot(222), imshow(cH, []), title('水平细节LH');
subplot(223), imshow(cV, []), title('垂直细节HL');
subplot(224), imshow(cD, []), title('对角线细节HH');% 单层重构验证
reconstructed = idwt2(cA, cH, cV, cD, 'db4');
mse = sum((img - reconstructed).^2, 'all') / numel(img);
disp(['重构误差MSE：', num2str(mse)]);

 2.2 多层小波分解（多分辨率分析）

% 3层小波分解（使用Symlet 5小波）
[C, S] = wavedec2(img, 3, 'sym5');% 提取各层系数
level3 = appcoef2(C, S, 'sym5', 3);  % 第3层低频
[level3H, level3V, level3D] = detcoef2('all', C, S, 3);  % 第3层细节% 可视化多层分解
figure;
subplot(1,4,1), imshow(level3, []), title('Layer3 LL');
subplot(1,4,2), imshow(level3H, []), title('Layer3 LH');
subplot(1,4,3), imshow(level3V, []), title('Layer3 HL');
subplot(1,4,4), imshow(level3D, []), title('Layer3 HH');
% ...类似代码显示第2层和第1层细节系数

 

 

3. 核心应用场景与代码实战

3.1 图像去噪（阈值法）

% 生成含高斯噪声的图像
noisy_img = imnoise(img, 'gaussian', 0, 0.02);% 小波去噪步骤
denoised = wdenoise2(noisy_img, 3, 'Wavelet', 'sym6', ...'DenoisingMethod', 'Bayes', 'ThresholdRule', 'Median');% 对比PSNR指标
psnr_val = psnr(denoised, img);
figure;
subplot(131), imshow(img), title('原图');
subplot(132), imshow(noisy_img), title('含噪图像');
subplot(133), imshow(denoised), title(['去噪结果 (PSNR=', num2str(psnr_val), 'dB)']);

3.2 图像压缩（系数截断）

% 小波分解后保留重要系数
[C, S] = wavedec2(img, 3, 'bior3.5');
sorted_C = sort(abs(C(:)), 'descend');% 保留前10%的系数（压缩率90%）
thresh = sorted_C(round(0.1 * length(sorted_C)));
compressed_C = C .* (abs(C) >= thresh);% 重构压缩图像
compressed_img = waverec2(compressed_C, S, 'bior3.5');% 计算压缩率和PSNR
compression_ratio = 100 * (1 - nnz(compressed_C)/numel(C));
psnr_comp = psnr(compressed_img, img);
disp(['压缩率：', num2str(compression_ratio), '%, PSNR：', num2str(psnr_comp)]);

 3.3 边缘检测（细节系数增强）

% 增强高频细节系数
[C, S] = wavedec2(img, 2, 'haar');
C_enhenced = C;
C_enhenced(S(1,1)*S(1,2)+1:end) = C_enhenced(S(1,1)*S(1,2)+1:end) * 3; % 增强细节% 重构边缘增强图像
edge_enhanced = waverec2(C_enhenced, S, 'haar');figure; 
imshowpair(img, edge_enhanced, 'montage');
title('原图（左） vs. 小波边缘增强（右）');

 

4. 小波基选择与参数优化

4.1 常用小波基特性对比

小波族	正交性	对称性	适用场景
Haar	是	是	快速计算，边缘检测
Daubechies	是	否	通用信号处理
Biorthogonal	否	是	图像压缩（JPEG2000）
Symlet	是	近似	特征提取

4.2 参数选择原则

1. 分解层数：通常3~5层，层数越多低频信息越粗糙
2. 阈值策略：
   • 硬阈值：绝对值小于阈值的系数置零（保边缘）
   • 软阈值：系数向零收缩（平滑过渡）
3. 边界处理：周期扩展（’per’）或对称扩展（’sym’）减少边界效应

---

5. 常见问题与解决方案

Q1：小波分解后图像出现伪影

• 原因：边界处理不当或小波基不匹配
• 解决：改用对称小波（如Symlet）或调整边界扩展模式

  % 指定边界对称扩展
  [C, S] = wavedec2(img, 3, 'sym5', 'mode', 'sym');

Q2：小波去噪导致细节丢失

• 优化策略：
  1. 分层阈值：对不同尺度系数设置不同阈值
     1. 结合形态学处理：对高频系数进行形态学平滑

  denoised = wdenoise2(noisy_img, 3, 'ThresholdRule', 'SQTWOLOG', 'NoiseEstimate', 'LevelDependent');

Q3：如何选择最优小波基？ 

• 实验方法：计算不同小波的重构误差和稀疏性

wavelist = {'haar', 'db4', 'sym5', 'bior3.5'};
for w = 1:length(wavelist)[C, S] = wavedec2(img, 3, wavelist{w});reconstructed = waverec2(C, S, wavelist{w});mse(w) = immse(img, reconstructed);sparsity(w) = nnz(C)/numel(C);
end

总结

小波变换为图像处理提供了多尺度分析框架，关键在于：

• 小波基与分解层数的合理选择
• 阈值策略的针对性设计
• 与传统方法/深度学习的融合