今天看了一些时间序列算法相关的文档和帖子。很惭愧，也是搞了很长时间预测算法的人了，但是都没能详细学习一下时间序列的理论。
首先，要预测一个时序问题，可以从什么路径解决呢？一种是认为过去序列状态影响将来的状态，是一种状态转移的角度；另一种是认为时间序列可以看做周期函数的叠加，这样对周期函数在频域做分析，也就是傅里叶展开的方法。我们这里先讨论第一种路径。
那么时间序列可以被认为包含哪几种部分呢？这里就直接给结论了：
可以分为趋势性（Trend）、季节性（Seasonal）、循环性（cyclical）、以及一些无规律的（Irregular）部分。
所以，我们分析时间序列，首先要对问题建模，找到各个部分，然后分别建模，这样分析问题才是有的放矢。如果直接对序列的整体建模，就会导致一旦出了错，不知道究竟改进那个部分比较好。当然之前还建模是用基线+天气+活动等乱七八糟的因子去叠加，但这种本质上是不好的，首先基线这里用的其实是ma的方法，然后天气、活动这些都是扰动项；所以还缺了一个ar，也就是自回归的方法。
然后讲到了序列平稳的定义。平稳是一个重要的概念。分为严格平稳和弱平稳。严格平稳就是说无论从序列的哪段连续采样，都是同分布的；而弱平稳需要满足一些条件，比如二阶矩是有界的，序列均值是恒定的，等等。
然后还有协方差的概念。其实协方差矩阵听起来概念可怕，实际上就是序列里两个时刻的关联性，也就是说能不能用过去时刻的变量来预测未来时刻。不难发现，如果是相互独立的变量，那么协方差矩阵只能在对角线上有非零值，其他值都是0；这种序列也不能用自回归的方式来预测。
那么有了协方差矩阵，还有一个自相关系数；其实就是算协方差和每个时刻变量分布方差的比值。不难看出，如果是严平稳序列，自相关系数应该就是1了。
自相关系数（ACF）是检验序列能否用时序分析法建模的重要指标。
最后讲一讲ARIMA模型吧。前面已经提到了ar（自回归）和ma（移动平均）两种方法，其实这两种思想是有区别的。ar是认为当前时刻的序列状态和几个lag状态相关；其实在建模的过程中，忽略了剩余项wt的建模。而ma是认为，我观测的序列一直是平稳的，有一个稳定的均值项μ，误差是在有规律的扰动，我们建模这个误差的规律就可以。但可能现实场景，这两种建模方式都不完全正确。因此需要综合两种建模方法。另外arima的i指的其实是差分累积；一般来讲，一个时间序列可能不是稳态的，但是如果隔几天做个差，就可以把周期性突变消除，变成稳态的序列了。但是这个差分一般不需要很高阶。对于arima(p,d,q)来说，p,d,q分别对应自回归lag项，差分阶数和ma观察项。这几个参数的取值范围是，p一般不超过5，d不超过2，q不超过5。
先总结到这里，后续再补充。
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