【算法】弗洛伊德（Floyd）算法求最短路径

1.弗洛伊德（Floyd）算法介绍

2.弗洛伊德算法图解分析

2.1思路：

2.2图和矩阵的准备

2.3弗洛伊德算法的步骤：

2.4疑问

3.弗洛伊德算法的代码实现

3.1创建图并显示距离表与前驱表

3.2完整代码

1.弗洛伊德（Floyd）算法介绍

弗洛伊德算法用于计算图中各个顶点之间的最短路径
迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径
弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法：弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发访问点，所以需要将每一个顶点看作被访问顶点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径；迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点，求出从出发访问顶点到其他顶点的最短路径。

2.弗洛伊德算法图解分析

2.1思路：

设置顶点 vi 到顶点 vk 的最短路径已知为 Lik，顶点 vk 到顶点 vj 的最短路径已知为 Lkj，顶点 vi 到 vj 的路径为 Lij，则 vi 到 vj 的最短路径为：min((Lik + Lkj) , Lij)，vk 的取值为图中所有顶点，则可获得 vi 到 vj 的最短路径
至于 vi 到 vk 的最短路径 Lik 或者 vk 到 vj 的最短路径 Lkj，是以同样的方式获得

2.2图和矩阵的准备

2.3弗洛伊德算法的步骤：

第一轮循环中，以 A（下标为 0）作为中间顶点【即把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历，就会得到更新距离表和前驱关系】，距离表和前驱关系更新为：

将 A 作为中间顶点的情况有

B - A - C [12]
B - A - G [7]
C - A - G [9]

2.4疑问

如何做到把 A 作为中间顶点的所有情况都进行遍历呢

中间顶点 k ：[A, B, C, D, E, F, G]

出发顶点 i ：[A, B, C, D, E, F, G]

终点 j ：[A, B, C, D, E, F, G]

k -> i -> j ：k 有 7 种选择，i 有 7*7 种选择，j 有 7*7*7 种选择

经过上述三层 for 循环，时间复杂度大大增加，为 n^3

3.弗洛伊德算法的代码实现

3.1创建图并显示距离表与前驱表

public class FloydAlgorithm {public static void main(String[] args) {//测试看看图是否创建成功char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//创建邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535;matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };//创建 Graph 对象Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);graph.show();}
}//创建图
class Graph {private char[] vertex;  //存放顶点的数组private int[][] dis;  //保存从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果也保留在该数组private int[][] pre;  //保存到达目标顶点的前驱顶点//构造器/*** @param length 大小* @param matrix 邻接矩阵* @param vertex 顶点数组*/public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.dis = matrix;this.pre = new int[length][length];//对 pre 数组初始化，存放的是前驱节点的下标，不是节点本身for (int i = 0; i < length; i++) {Arrays.fill(pre[i], i);}}//显示 pre 数组和 dis 数组public void show() {for (int k = 0; k < dis.length; k++) {//prefor (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");}System.out.println();//disfor (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.print("(" + vertex[k] + "到" + vertex[i] + "的最短路径是" + dis[k][i] + ")" + " ");}System.out.println();System.out.println();}}
}

3.2完整代码

public class FloydAlgorithm {public static void main(String[] args) {//测试看看图是否创建成功char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//创建邻接矩阵int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];final int N = 65535;matrix[0] = new int[] { 0, 5, 7, N, N, N, 2 };matrix[1] = new int[] { 5, 0, N, 9, N, N, 3 };matrix[2] = new int[] { 7, N, 0, N, 8, N, N };matrix[3] = new int[] { N, 9, N, 0, N, 4, N };matrix[4] = new int[] { N, N, 8, N, 0, 5, 4 };matrix[5] = new int[] { N, N, N, 4, 5, 0, 6 };matrix[6] = new int[] { 2, 3, N, N, 4, 6, 0 };//创建 Graph 对象Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);graph.floyd();graph.show();}
}//创建图
class Graph {private char[] vertex;  //存放顶点的数组private int[][] dis;  //保存从各个顶点出发到其他顶点的距离，最后的结果也保留在该数组private int[][] pre;  //保存到达目标顶点的前驱顶点//构造器/*** @param length 大小* @param matrix 邻接矩阵* @param vertex 顶点数组*/public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.dis = matrix;this.pre = new int[length][length];//对 pre 数组初始化，存放的是前驱节点的下标，不是节点本身for (int i = 0; i < length; i++) {Arrays.fill(pre[i], i);}}//显示 pre 数组和 dis 数组public void show() {for (int k = 0; k < dis.length; k++) {//prefor (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");}System.out.println();//disfor (int i = 0; i < dis.length; i++) {System.out.printf("(%c到%c的最短路径是%2d) ", vertex[k], vertex[i], dis[k][i]);}System.out.println();System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int len = 0;  //变量保存距离//对中间节点遍历，k 就是中间节点的下标 [A, B, C, D, E, F, G]for (int k = 0; k < dis.length; k++) {//从 i 顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]for (int i = 0; i < dis.length; i++) {//到达 j 顶点 [A, B, C, D, E, F, G]for (int j = 0; j < dis.length; j++) {len = dis[i][k] + dis[k][j];  //求出从 i 顶点出发，经过 k 中间节点，到达 j 顶点的距离if (len < dis[i][j]) {  //如果中转小于直达dis[i][j] = len;  //更新距离pre[i][j] = pre[k][j];  //更新前驱顶点}}}}}
}